En appliquant le théorème du rang $\dim \ker f + \mathrm{rg}\, f = \dim E$

Obtenir le rang d'une application linéaire en déduisant l'une des dimensions à partir des deux autres.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Soit $f \colon \mathbb{R}^4 \to \mathbb{R}^3$ telle que $\ker(f) = \mathrm{Vect}((1,0,0,1), (0,1,1,0))$ . Déterminer $\mathrm{rg}(f)$ .

L'objectif

Obtenir le rang d'une application linéaire en déduisant l'une des dimensions à partir des deux autres.

Le principe

Théorème du rang : si $f \colon E \to F$ est linéaire avec $E$ de dimension finie, alors $\dim \ker(f) + \mathrm{rg}(f) = \dim E$ .

La méthode

1
Je vérifie l'hypothèse : $E$ est de dimension finie (sinon le théorème du rang ne s'applique pas).
2
Je détermine $\dim \ker(f)$ (en résolvant le système $f(x) = 0$ et en exhibant une base).
Comment déterminer le noyau d'une application linéaire ?Voir
3
Je note $\dim E$ , puis j'applique la formule $\mathrm{rg}(f) = \dim E - \dim \ker(f)$ .
4
Je conclus en énonçant explicitement la valeur du rang obtenu.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Soit $f \colon \mathbb{R}^4 \to \mathbb{R}^3$ telle que $\ker(f) = \mathrm{Vect}((1,0,0,1), (0,1,1,0))$ . Déterminer $\mathrm{rg}(f)$ .

Étape 1 —

Je vérifie l'hypothèse :

E

est de dimension finie (sinon le théorème du rang ne s'applique pas).

$E = \mathbb{R}^4$ est de dimension $4$ , finie : le théorème du rang s'applique.

Étape 2 —

Je détermine

\dim \ker(f)

(en résolvant le système

f(x) = 0

et en exhibant une base).

Les deux vecteurs $(1,0,0,1)$ et $(0,1,1,0)$ sont libres (non colinéaires), donc $\dim \ker(f) = 2$ .

Étape 3 —

Je note

\dim E

, puis j'applique la formule

\mathrm{rg}(f) = \dim E - \dim \ker(f)

Théorème du rang : $\mathrm{rg}(f) = \dim \mathbb{R}^4 - \dim \ker(f) = 4 - 2 = 2$ .

Étape 4 —

Je conclus en énonçant explicitement la valeur du rang obtenu.

Donc $\mathrm{rg}(f) = 2$ .

$\mathrm{rg}(f) = 2$ .

Application guidée

Soit $\varphi \colon \mathbb{R}_3[X] \to \mathbb{R}_3[X]$ , $\varphi(P) = P'$ . Déterminer $\mathrm{rg}(\varphi)$ .

Application autonome 1

Soit $f \in \mathcal{L}(\mathbb{R}^3)$ telle que $\ker(f) = \{0\}$ . Déterminer $\mathrm{rg}(f)$ .

Application autonome 2

Soit $f \in \mathcal{L}(\mathbb{R}^4)$ définie par $f(x, y, z, t) = (x + y, x + y, z + t, z + t)$ . Déterminer $\mathrm{rg}(f)$ .

Application autonome 3

Soit $f : \mathbb{R}_2[X] \to \mathbb{R}^2$ , $f(P) = (P(1), P(-1))$ . Déterminer $\mathrm{rg}(f)$ .

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