Comment écrire la matrice d'une application linéaire dans des bases données ? | MetMat

Comment écrire la matrice d'une application linéaire dans des bases données ?

En calculant les images des vecteurs de la base de départ et en les écrivant en colonnes dans la base d'arrivée

Écrire la matrice $A = \mathrm{Mat}_{\mathcal{B},\mathcal{B}'}(f)$ d'une application linéaire $f \colon E \to F$ dans une base $\mathcal{B} = (e_1, \ldots, e_n)$ de $E$ et $\mathcal{B}' = (f_1, \ldots, f_p)$ de $F$ .

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Soit $f \colon \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2$ , $f(x, y, z) = (x + 2y - z,\ 3x - y)$ . Écrire la matrice de $f$ dans les bases canoniques.

L'objectif

Le principe

Si $f(e_j) = \sum_{i=1}^{p} a_{ij} f_i$ , alors la $j$ -ème colonne de $A$ contient les coordonnées $(a_{1j}, \ldots, a_{pj})$ de $f(e_j)$ dans $\mathcal{B}'$ .

La méthode

1
Je précise les bases $\mathcal{B} = (e_1, \ldots, e_n)$ de $E$ et $\mathcal{B}' = (f_1, \ldots, f_p)$ de $F$ .
2
Pour chaque $j$ de $1$ à $n$ , je calcule l'image $f(e_j)$ en appliquant la définition de $f$ .
3
Je décompose $f(e_j) = a_{1j} f_1 + a_{2j} f_2 + \cdots + a_{pj} f_p$ dans la base $\mathcal{B}'$ , en lisant les coordonnées.
4
Je place le vecteur colonne $(a_{1j}, \ldots, a_{pj})$ comme $j$ -ème colonne, et j'obtiens $A \in \mathcal{M}_{p,n}(\mathbb{R})$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Soit $f \colon \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2$ , $f(x, y, z) = (x + 2y - z,\ 3x - y)$ . Écrire la matrice de $f$ dans les bases canoniques.

Étape 1 —

Je précise les bases

\mathcal{B} = (e_1, \ldots, e_n)

E

\mathcal{B}' = (f_1, \ldots, f_p)

F

$\mathcal{B} = (e_1, e_2, e_3)$ base canonique de $\mathbb{R}^3$ , $\mathcal{B}' = (f_1, f_2)$ base canonique de $\mathbb{R}^2$ .

Étape 2 —

Pour chaque

j

1

n

, je calcule l'image

f(e_j)

en appliquant la définition de

f

$f(e_1) = f(1,0,0) = (1, 3)$ ; $f(e_2) = f(0,1,0) = (2, -1)$ ; $f(e_3) = f(0,0,1) = (-1, 0)$ .

Étape 3 —

Je décompose

f(e_j) = a_{1j} f_1 + a_{2j} f_2 + \cdots + a_{pj} f_p

dans la base

\mathcal{B}'

, en lisant les coordonnées.

Dans $\mathcal{B}'$ : $f(e_1) = 1\,f_1 + 3\,f_2$ , $f(e_2) = 2\,f_1 - 1\,f_2$ , $f(e_3) = -1\,f_1 + 0\,f_2$ .

Étape 4 —

Je place le vecteur colonne

(a_{1j}, \ldots, a_{pj})

comme

j

-ème colonne, et j'obtiens

A \in \mathcal{M}_{p,n}(\mathbb{R})

On obtient $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 3 & -1 & 0 \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_{2,3}(\mathbb{R})$ .

$\mathrm{Mat}_{\mathcal{B},\mathcal{B}'}(f) = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 3 & -1 & 0 \end{pmatrix}$ .

Application guidée

Soit $D \colon \mathbb{R}_2[X] \to \mathbb{R}_2[X]$ , $D(P) = P'$ . Écrire la matrice de $D$ dans la base canonique $\mathcal{B} = (1, X, X^2)$ .

Application autonome 1

Soit $f \colon \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ , $f(x,y) = (x + y, x - y)$ . Écrire la matrice de $f$ dans la base $\mathcal{B}' = (u_1, u_2)$ avec $u_1 = (1,1)$ et $u_2 = (1,-1)$ (au départ et à l'arrivée).

Application autonome 2

Soit $f : \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3$ , $f(x, y, z) = (x - y,\ y - z,\ z - x)$ . Écrire la matrice de $f$ dans la base canonique.

Application autonome 3

Soit $\varphi : \mathbb{R}_2[X] \to \mathbb{R}^3$ , $\varphi(P) = (P(-1), P(0), P(1))$ . Écrire la matrice de $\varphi$ dans la base $(1, X, X^2)$ au départ et la base canonique de $\mathbb{R}^3$ à l'arrivée.

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