En calculant les images des vecteurs de la base de départ et en les écrivant en colonnes dans la base d'arrivée

Soit $f \colon \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2$, $f(x, y, z) = (x + 2y - z,\ 3x - y)$. Écrire la matrice de $f$ dans les bases canoniques.

Soit $D \colon \mathbb{R}_2[X] \to \mathbb{R}_2[X]$, $D(P) = P'$. Écrire la matrice de $D$ dans la base canonique $\mathcal{B} = (1, X, X^2)$.

Soit $f \colon \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$, $f(x,y) = (x + y, x - y)$. Écrire la matrice de $f$ dans la base $\mathcal{B}' = (u_1, u_2)$ avec $u_1 = (1,1)$ et $u_2 = (1,-1)$ (au départ et à l'arrivée).

Soit $f : \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3$, $f(x, y, z) = (x - y,\ y - z,\ z - x)$. Écrire la matrice de $f$ dans la base canonique.

Soit $\varphi : \mathbb{R}_2[X] \to \mathbb{R}^3$, $\varphi(P) = (P(-1), P(0), P(1))$. Écrire la matrice de $\varphi$ dans la base $(1, X, X^2)$ au départ et la base canonique de $\mathbb{R}^3$ à l'arrivée.