En montrant que son noyau est réduit à $\{0\}$ (en dimension finie)

L'objectif

Prouver qu'un endomorphisme $f$ d'un espace vectoriel $E$ de dimension finie est un isomorphisme.

Le principe

Pour $f \in \mathcal{L}(E)$ avec $\dim E < \infty$ , $f$ est un isomorphisme $\Leftrightarrow$ $f$ est injective $\Leftrightarrow$ $\ker(f) = \{0\}$ $\Leftrightarrow$ $f$ est surjective.

La méthode

1
Je vérifie l'hypothèse : $f$ est un endomorphisme d'un espace $E$ de dimension finie.
2
Je résous l'équation $f(x) = 0$ et je montre que la seule solution est $x = 0$ .
Comment déterminer le noyau d'une application linéaire ?Voir
3
J'en déduis $\ker(f) = \{0\}$ , donc $f$ est injective.
4
En dimension finie, l'injectivité d'un endomorphisme entraîne la bijectivité ; je conclus que $f$ est un isomorphisme.

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Application guidée 1

Soit $f \colon \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ , $f(x, y) = (x + y, x - y)$ . Montrer que $f$ est un isomorphisme.

Application guidée 2

Soit $\varphi \colon \mathbb{R}_2[X] \to \mathbb{R}_2[X]$ , $\varphi(P) = P + P'$ . Montrer que $\varphi$ est un isomorphisme.

Application autonome 1

Soit $f \in \mathcal{L}(\mathbb{R}^3)$ tel que $f(x,y,z) = (x + 2y, y + z, x - z)$ . Montrer que $f$ est un isomorphisme.

Application autonome 2

Soit $f \colon \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3$ , $f(x, y, z) = (x + y, y + z, x + z)$ . Montrer que $f$ est un isomorphisme.

Application autonome 3

Soit $\varphi \colon \mathbb{R}_n[X] \to \mathbb{R}_n[X]$ , $\varphi(P) = P - P'$ . Montrer que $\varphi$ est un isomorphisme.

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En montrant que son noyau est réduit à {0}\{0\}{0} (en dimension finie)

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