En montrant que son noyau est réduit à $\{0\}$ (en dimension finie)

Prouver qu'un endomorphisme $f$ d'un espace vectoriel $E$ de dimension finie est un isomorphisme.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Soit $f \colon \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ , $f(x, y) = (x + y, x - y)$ . Montrer que $f$ est un isomorphisme.

L'objectif

Prouver qu'un endomorphisme $f$ d'un espace vectoriel $E$ de dimension finie est un isomorphisme.

Le principe

Pour $f \in \mathcal{L}(E)$ avec $\dim E < \infty$ , $f$ est un isomorphisme $\Leftrightarrow$ $f$ est injective $\Leftrightarrow$ $\ker(f) = \{0\}$ $\Leftrightarrow$ $f$ est surjective.

La méthode

1
Je vérifie l'hypothèse : $f$ est un endomorphisme d'un espace $E$ de dimension finie.
2
Je résous l'équation $f(x) = 0$ et je montre que la seule solution est $x = 0$ .
Comment déterminer le noyau d'une application linéaire ?Voir
3
J'en déduis $\ker(f) = \{0\}$ , donc $f$ est injective.
4
En dimension finie, l'injectivité d'un endomorphisme entraîne la bijectivité ; je conclus que $f$ est un isomorphisme.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Soit $f \colon \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ , $f(x, y) = (x + y, x - y)$ . Montrer que $f$ est un isomorphisme.

Étape 1 —

Je vérifie l'hypothèse :

f

est un endomorphisme d'un espace

E

de dimension finie.

$f$ est linéaire de $\mathbb{R}^2$ dans lui-même et $\mathbb{R}^2$ est de dimension finie ( $\dim = 2$ ).

Étape 2 —

Je résous l'équation

f(x) = 0

et je montre que la seule solution est

x = 0

$f(x,y) = (0,0)$ donne $x + y = 0$ et $x - y = 0$ , dont l'unique solution est $x = y = 0$ .

Étape 3 —

J'en déduis

\ker(f) = \{0\}

, donc

f

est injective.

Donc $\ker(f) = \{(0,0)\}$ : $f$ est injective.

Étape 4 —

En dimension finie, l'injectivité d'un endomorphisme entraîne la bijectivité ; je conclus que

f

est un isomorphisme.

$f$ étant un endomorphisme injectif en dimension finie, $f$ est un isomorphisme de $\mathbb{R}^2$ .

$f$ est un isomorphisme.

Application guidée

Soit $\varphi \colon \mathbb{R}_2[X] \to \mathbb{R}_2[X]$ , $\varphi(P) = P + P'$ . Montrer que $\varphi$ est un isomorphisme.

Application autonome 1

Soit $f \in \mathcal{L}(\mathbb{R}^3)$ tel que $f(x,y,z) = (x + 2y, y + z, x - z)$ . Montrer que $f$ est un isomorphisme.

Application autonome 2

Soit $f \colon \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3$ , $f(x, y, z) = (x + y, y + z, x + z)$ . Montrer que $f$ est un isomorphisme.

Application autonome 3

Soit $\varphi \colon \mathbb{R}_n[X] \to \mathbb{R}_n[X]$ , $\varphi(P) = P - P'$ . Montrer que $\varphi$ est un isomorphisme.

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En montrant que son noyau est réduit à {0}\{0\}{0} (en dimension finie)

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En montrant que son noyau est réduit à $\{0\}$ (en dimension finie)