En montrant que sa matrice associée est inversible

Établir qu'un endomorphisme est un isomorphisme par calcul direct sur sa matrice associée.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Soit $f \in \mathcal{L}(\mathbb{R}^2)$ de matrice $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{pmatrix}$ dans la base canonique. Montrer que $f$ est un isomorphisme.

L'objectif

Établir qu'un endomorphisme est un isomorphisme par calcul direct sur sa matrice associée.

Le principe

Soit $f \in \mathcal{L}(E)$ avec $E$ de dimension finie et $\mathcal{B}$ une base de $E$ . Alors $f$ est un isomorphisme $\Leftrightarrow \mathrm{Mat}_{\mathcal{B}}(f)$ est inversible $\Leftrightarrow \mathrm{rg}(\mathrm{Mat}_{\mathcal{B}}(f)) = \dim E$ .

La méthode

1
Je choisis une base $\mathcal{B}$ de $E$ et j'écris $A = \mathrm{Mat}_{\mathcal{B}}(f)$ .
Comment écrire la matrice d'une application linéaire dans des bases données ?Voir
2
Je vérifie l'inversibilité de $A$ : soit en calculant son rang par pivot ( $\mathrm{rg}(A) = n$ ), soit en exhibant explicitement une inverse.
3
J'en déduis que $A$ est inversible, donc que $f$ est bijective.
4
Je conclus que $f$ est un isomorphisme de $E$ .

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Exercice d'exemple

Soit $f \in \mathcal{L}(\mathbb{R}^2)$ de matrice $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{pmatrix}$ dans la base canonique. Montrer que $f$ est un isomorphisme.

Étape 1 —

Je choisis une base

\mathcal{B}

E

et j'écris

A = \mathrm{Mat}_{\mathcal{B}}(f)

On prend la base canonique $\mathcal{B}$ de $\mathbb{R}^2$ et $A = \mathrm{Mat}_{\mathcal{B}}(f) = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{pmatrix}$ .

Étape 2 —

Je vérifie l'inversibilité de

A

: soit en calculant son rang par pivot (

\mathrm{rg}(A) = n

), soit en exhibant explicitement une inverse.

Pour une matrice $2 \times 2$ : $\det(A) = 2 \cdot 2 - 1 \cdot 3 = 1 \neq 0$ , donc $A$ est inversible (et $A^{-1} = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -3 & 2 \end{pmatrix}$ ).

Étape 3 —

J'en déduis que

A

est inversible, donc que

f

est bijective.

$A$ étant inversible, $f$ est bijective.

Étape 4 —

Je conclus que

f

est un isomorphisme de

E

Donc $f$ est un isomorphisme de $\mathbb{R}^2$ .

$f$ est un isomorphisme.

Application guidée

Soit $f \in \mathcal{L}(\mathbb{R}^3)$ de matrice $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}$ dans la base canonique. Montrer que $f$ est un isomorphisme.

Application autonome 1

Soit $f \in \mathcal{L}(\mathbb{R}^2)$ de matrice $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}$ . $f$ est-il un isomorphisme ?

Application autonome 2

Soit $f \in \mathcal{L}(\mathbb{R}^3)$ de matrice $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}$ dans la base canonique. Montrer que $f$ est un isomorphisme.

Application autonome 3

Soit $f \in \mathcal{L}(\mathbb{R}^2)$ de matrice $A = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 6 \end{pmatrix}$ dans la base canonique. $f$ est-il un isomorphisme ?

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