En montrant que sa matrice associée est inversible

L'objectif

Établir qu'un endomorphisme est un isomorphisme par calcul direct sur sa matrice associée.

Le principe

Soit $f \in \mathcal{L}(E)$ avec $E$ de dimension finie et $\mathcal{B}$ une base de $E$ . Alors $f$ est un isomorphisme $\Leftrightarrow \mathrm{Mat}_{\mathcal{B}}(f)$ est inversible $\Leftrightarrow \mathrm{rg}(\mathrm{Mat}_{\mathcal{B}}(f)) = \dim E$ .

La méthode

1
Je choisis une base $\mathcal{B}$ de $E$ et j'écris $A = \mathrm{Mat}_{\mathcal{B}}(f)$ .
Comment écrire la matrice d'une application linéaire dans des bases données ?Voir
2
Je vérifie l'inversibilité de $A$ : soit en calculant son rang par pivot ( $\mathrm{rg}(A) = n$ ), soit en exhibant explicitement une inverse.
3
J'en déduis que $A$ est inversible, donc que $f$ est bijective.
4
Je conclus que $f$ est un isomorphisme de $E$ .

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Application guidée 1

Soit $f \in \mathcal{L}(\mathbb{R}^2)$ de matrice $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{pmatrix}$ dans la base canonique. Montrer que $f$ est un isomorphisme.

Application guidée 2

Soit $f \in \mathcal{L}(\mathbb{R}^3)$ de matrice $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}$ dans la base canonique. Montrer que $f$ est un isomorphisme.

Application autonome 1

Soit $f \in \mathcal{L}(\mathbb{R}^2)$ de matrice $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}$ . $f$ est-il un isomorphisme ?

Application autonome 2

Soit $f \in \mathcal{L}(\mathbb{R}^3)$ de matrice $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}$ dans la base canonique. Montrer que $f$ est un isomorphisme.

Application autonome 3

Soit $f \in \mathcal{L}(\mathbb{R}^2)$ de matrice $A = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 6 \end{pmatrix}$ dans la base canonique. $f$ est-il un isomorphisme ?

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