En appliquant $X_{\mathcal{B}'} = P^{-1} X_{\mathcal{B}}$ pour un vecteur ou $\mathrm{Mat}_{\mathcal{B}'}(f) = P^{-1} \mathrm{Mat}_{\mathcal{B}}(f) P$ pour un endomorphisme

Dans $\mathbb{R}^2$, soit $\mathcal{B}$ la base canonique et $\mathcal{B}' = ((1,1), (1,-1))$. Soit $x$ tel que $X_{\mathcal{B}} = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix}$. Calculer $X_{\mathcal{B}'}$.

Soit $f \in \mathcal{L}(\mathbb{R}^2)$ de matrice $A = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$ dans la base canonique $\mathcal{B}$. On pose $\mathcal{B}' = ((1,1), (1,-1))$. Calculer $\mathrm{Mat}_{\mathcal{B}'}(f)$.

Soit $f \in \mathcal{L}(\mathbb{R}^2)$ de matrice $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}$ dans la base canonique. On pose $\mathcal{B}' = (u_1, u_2)$ avec $u_1 = (1,0)$ et $u_2 = (1, 1)$. Calculer $\mathrm{Mat}_{\mathcal{B}'}(f)$.

Dans $\mathbb{R}^2$, soit $\mathcal{B}$ la base canonique, $\mathcal{B}' = ((2, 1), (1, 1))$ et $u \in \mathbb{R}^2$ tel que $X_{\mathcal{B}} = \begin{pmatrix} 5 \\ 3 \end{pmatrix}$. Calculer $X_{\mathcal{B}'}$.

Soit $f \in \mathcal{L}(\mathbb{R}^2)$ de matrice $A = \begin{pmatrix} 4 & -2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$ dans la base canonique $\mathcal{B}$. On pose $\mathcal{B}' = ((2, 1), (1, 1))$. Calculer $\mathrm{Mat}_{\mathcal{B}'}(f)$.