Endomorphismes et applications linéaires en dimension finie

Comment montrer qu'une application est linéaire ?

Vérifier la linéarité d'une application $f \colon E \to F$ entre deux $\mathbb{R}$-espaces vectoriels.

Comment écrire la matrice d'une application linéaire dans des bases données ?

Construire $\mathrm{Mat}_{\mathcal{B},\mathcal{B}'}(f)$ à partir des images des vecteurs de la base de départ.

Comment déterminer le noyau d'une application linéaire ?

Trouver $\ker(f) = \{x \in E \mid f(x) = 0\}$ et en exhiber une base.

Comment déterminer l'image d'une application linéaire ?

Décrire $\mathrm{Im}(f)$ comme $\mathrm{Vect}(f(e_1), \ldots, f(e_n))$ et en extraire une base.

Comment déterminer le rang d'une application linéaire ?

Calculer $\mathrm{rg}(f) = \dim \mathrm{Im}(f)$, soit par pivot sur la matrice, soit par le théorème du rang.

Comment montrer qu'un endomorphisme est un isomorphisme ?

Caractériser la bijectivité d'un endomorphisme en dimension finie via le noyau ou la matrice.

Comment utiliser le théorème du rang ?

Appliquer la relation $\dim \ker(f) + \mathrm{rg}(f) = \dim E$ pour déduire une dimension manquante.

Comment écrire la matrice de passage $P_{\mathcal{B},\mathcal{B}'}$ ?

Construire la matrice de passage de $\mathcal{B}$ vers $\mathcal{B}'$ à partir des coordonnées des vecteurs de $\mathcal{B}'$ dans $\mathcal{B}$.

Comment effectuer un changement de base pour un vecteur ou une matrice d'endomorphisme ?

Appliquer les formules $X_{\mathcal{B}'} = P^{-1} X_{\mathcal{B}}$ et $\mathrm{Mat}_{\mathcal{B}'}(f) = P^{-1} \mathrm{Mat}_{\mathcal{B}}(f) P$.

Comment montrer que deux matrices carrées sont semblables ?

Établir l'existence d'une matrice $P$ inversible telle que $B = P^{-1} A P$, ou identifier un endomorphisme commun.