Comment utiliser les DL usuels de $e^x$, $\ln(1+x)$, $(1+x)^\alpha$ au voisinage de $0$ ? | MetMat

Comment utiliser les DL usuels de $e^x$ , $\ln(1+x)$ , $(1+x)^\alpha$ au voisinage de $0$ ?

En écrivant les DL usuels au voisinage de 0

Lever une indétermination ou décrire un comportement local en mobilisant les DL usuels en 0.

L'objectif

Lever une indétermination ou décrire un comportement local en mobilisant les DL usuels en 0.

Le principe

Au voisinage de 0 : $e^x = 1 + x + \dfrac{x^2}{2} + \underset{0}{o}(x^2)$ , $\ln(1+x) = x - \dfrac{x^2}{2} + \underset{0}{o}(x^2)$ , $(1+x)^\alpha = 1 + \alpha x + \dfrac{\alpha(\alpha-1)}{2} x^2 + \underset{0}{o}(x^2)$ pour tout $\alpha \in \mathbb{R}$ . Aucune autre technique de calcul de DL n'est exigible : on se ramène toujours à une de ces trois formes par identification.

La méthode

1
Je reconnais l'expression sous l'une des trois formes $e^u$ , $\ln(1+u)$ ou $(1+u)^\alpha$ avec $u \to 0$ , et je précise la valeur de $\alpha$ s'il s'agit de la puissance.
2
J'écris le DL usuel correspondant à l'ordre 1 ou 2 voulu, en y substituant l'expression observée.
3
Je simplifie l'expression obtenue et je conclus (limite, équivalent, allure locale, etc.).

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Donner le DL à l'ordre 2 en 0 de $f(x) = \ln(1+x)$ et en déduire un équivalent simple de $\ln(1+x) - x$ en 0.

Étape 1 —

Je reconnais l'expression sous l'une des trois formes

e^u

\ln(1+u)

(1+u)^\alpha

avec

u \to 0

, et je précise la valeur de

\alpha

s'il s'agit de la puissance.

L'expression est exactement $\ln(1+u)$ avec $u = x \to 0$ .

Étape 2 —

J'écris le DL usuel correspondant à l'ordre 1 ou 2 voulu, en y substituant l'expression observée.

J'écris le DL usuel : $\ln(1+x) = x - \dfrac{x^2}{2} + \underset{0}{o}(x^2)$ .

Étape 3 —

Je simplifie l'expression obtenue et je conclus (limite, équivalent, allure locale, etc.).

On en déduit $\ln(1+x) - x = -\dfrac{x^2}{2} + \underset{0}{o}(x^2)$ , donc $\ln(1+x) - x \underset{0}{\sim} -\dfrac{x^2}{2}$ .

$\ln(1+x) - x \underset{0}{\sim} -\dfrac{x^2}{2}$

Application guidée

Calculer $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1 - x}{x^2}$ .

Application autonome 1

Donner le DL à l'ordre 2 en 0 de $f(x) = \sqrt{1+x}$ .

Application autonome 2

Donner le DL à l'ordre 2 en 0 de $f(x) = \dfrac{1}{1+x}$ .

Application autonome 3

Donner le DL à l'ordre 2 en 0 de $f(x) = e^x \cos(x)$ .

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