Comment montrer que f = o(g) au voisinage d'un point x₀ ?

En montrant que f/g → 0 en x₀

L'objectif

Montrer que $f$ est négligeable devant $g$ au voisinage de $x_0$ , noté $f = \underset{x_0}{o}(g)$ .

Le principe

Si $g$ ne s'annule pas au voisinage de $x_0$ (sauf éventuellement en $x_0$ ), alors $f = \underset{x_0}{o}(g)$ si et seulement si $\displaystyle \lim_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = 0$ .

La méthode

1
Je vérifie que $g$ ne s'annule pas sur un voisinage épointé de $x_0$ pour pouvoir former le quotient $f/g$ .
2
Je calcule la limite $\displaystyle \lim_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)}$ en utilisant les règles usuelles de calcul de limites (croissances comparées notamment).
3
Si cette limite vaut 0, je conclus que $f(x) = \underset{x_0}{o}(g(x))$ .

Exemple corrigé

Difficulté croissante de 1 à 4

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