En remplaçant les facteurs/quotients par leurs équivalents

Calculer une limite (notamment une forme indéterminée) en utilisant les équivalents usuels.

L'objectif

Calculer une limite (notamment une forme indéterminée) en utilisant les équivalents usuels.

Le principe

L'équivalence est compatible avec le produit, le quotient et la composition par une fonction puissance entière, mais $\mathbf{pas}$ avec l'addition ni avec la composition par $\exp$ , $\ln$ ou toute autre fonction non puissance entière. Si $f \underset{x_0}{\sim} g$ et $\displaystyle \lim_{x \to x_0} g(x) = \ell$ , alors $\displaystyle \lim_{x \to x_0} f(x) = \ell$ .

La méthode

1
J'identifie les facteurs ou quotients dont la limite seule est indéterminée et je cherche pour chacun un équivalent usuel (par exemple $\sin x \underset{0}{\sim} x$ , $e^x - 1 \underset{0}{\sim} x$ , $\ln(1+x) \underset{0}{\sim} x$ ).
2
Je remplace chaque facteur ou quotient par son équivalent en m'assurant de n'utiliser que la compatibilité avec produit, quotient ou puissance entière (jamais une somme, jamais une exponentielle ou un logarithme appliqué à l'équivalent).
3
Je calcule la limite de l'expression simplifiée et je conclus.

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Exercice d'exemple

Calculer $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{e^x - 1}$ .

Étape 1 —

J'identifie les facteurs ou quotients dont la limite seule est indéterminée et je cherche pour chacun un équivalent usuel (par exemple

\sin x \underset{0}{\sim} x

e^x - 1 \underset{0}{\sim} x

\ln(1+x) \underset{0}{\sim} x

Au numérateur, $\sin(x) \underset{0}{\sim} x$ ; au dénominateur, $e^x - 1 \underset{0}{\sim} x$ . Les deux facteurs sont indéterminés (forme $0/0$ ).

Étape 2 —

Je remplace chaque facteur ou quotient par son équivalent en m'assurant de n'utiliser que la compatibilité avec produit, quotient ou puissance entière (jamais une somme, jamais une exponentielle ou un logarithme appliqué à l'équivalent).

Comme l'équivalence est compatible avec le quotient, $\displaystyle \frac{\sin(x)}{e^x - 1} \underset{0}{\sim} \frac{x}{x} = 1$ .

Étape 3 —

Je calcule la limite de l'expression simplifiée et je conclus.

Donc $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{e^x - 1} = 1$ .

$\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{e^x - 1} = 1$

Application guidée

Calculer $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x)}{x^2 + x}$ .

Application autonome 1

Calculer $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{2x^3 + x + 1}{5x^3 - x^2}$ .

Application autonome 2

Calculer $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{(e^x - 1)^2}{\ln(1+x) \sin(x)}$ .

Application autonome 3

Calculer $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1 - x}{\ln(1+x) - x}$ .

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