Comment écrire le DL à l'ordre 1 ou 2 d'une fonction de classe $C^1$ ou $C^2$ en $x_0$ ? | MetMat

Comment écrire le DL à l'ordre 1 ou 2 d'une fonction de classe $C^1$ ou $C^2$ en $x_0$ ?

En appliquant la formule de Taylor-Young

Écrire le développement limité d'une fonction régulière à l'ordre 1 ou 2 en un point $x_0$ .

L'objectif

Écrire le développement limité d'une fonction régulière à l'ordre 1 ou 2 en un point $x_0$ .

Le principe

Soit $f$ de classe $\mathcal{C}^2$ sur un voisinage de $x_0$ . Alors la formule de Taylor-Young donne au voisinage de $x_0$ : $f(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0) + \dfrac{f''(x_0)}{2}(x - x_0)^2 + \underset{x_0}{o}\!\left((x-x_0)^2\right)$ . Pour un DL à l'ordre 1, il suffit que $f$ soit $\mathcal{C}^1$ et on s'arrête au terme en $f'(x_0)(x-x_0)$ avec un reste $\underset{x_0}{o}(x - x_0)$ .

La méthode

1
Je vérifie que $f$ est de classe $\mathcal{C}^1$ (pour un DL à l'ordre 1) ou de classe $\mathcal{C}^2$ (pour un DL à l'ordre 2) sur un voisinage de $x_0$ .
2
Je calcule $f(x_0)$ , $f'(x_0)$ , et si nécessaire $f''(x_0)$ , à l'aide des règles usuelles de dérivation.
3
J'écris la formule de Taylor-Young à l'ordre voulu, en remplaçant les valeurs calculées et en concluant par le reste $\underset{x_0}{o}((x-x_0)^n)$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Donner le DL à l'ordre 2 de $f(x) = \sqrt{x}$ en $x_0 = 1$ .

Étape 1 —

Je vérifie que

f

est de classe

\mathcal{C}^1

(pour un DL à l'ordre 1) ou de classe

\mathcal{C}^2

(pour un DL à l'ordre 2) sur un voisinage de

x_0

$f$ est de classe $\mathcal{C}^2$ sur $]0, +\infty[$ , donc en particulier au voisinage de 1.

Étape 2 —

Je calcule

f(x_0)

f'(x_0)

, et si nécessaire

f''(x_0)

, à l'aide des règles usuelles de dérivation.

Je calcule $f(1) = 1$ , $f'(x) = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}$ donc $f'(1) = \dfrac{1}{2}$ , et $f''(x) = -\dfrac{1}{4} x^{-3/2}$ donc $f''(1) = -\dfrac{1}{4}$ .

Étape 3 —

J'écris la formule de Taylor-Young à l'ordre voulu, en remplaçant les valeurs calculées et en concluant par le reste

\underset{x_0}{o}((x-x_0)^n)

Par Taylor-Young : $\sqrt{x} = 1 + \dfrac{1}{2}(x-1) - \dfrac{1}{8}(x-1)^2 + \underset{1}{o}\!\left((x-1)^2\right)$ .

$\sqrt{x} = 1 + \dfrac{1}{2}(x-1) - \dfrac{1}{8}(x-1)^2 + \underset{1}{o}\!\left((x-1)^2\right)$

Application guidée

Donner le DL à l'ordre 1 de $f(x) = \ln(x)$ en $x_0 = 2$ .

Application autonome 1

Donner le DL à l'ordre 2 de $f(x) = e^{2x}$ en $x_0 = 0$ .

Application autonome 2

Donner le DL à l'ordre 2 de $f(x) = \dfrac{1}{x}$ en $x_0 = 1$ .

Application autonome 3

Donner le DL à l'ordre $2$ de $f(x) = \cos(x)$ en $x_0 = 0$ .

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