Comment étudier l'allure locale d'un graphe à partir d'un DL d'ordre 2 ? | MetMat

Comment étudier l'allure locale d'un graphe à partir d'un DL d'ordre 2 ?

En analysant le signe de $a_2$ pour conclure

Décrire localement la position du graphe d'une fonction par rapport à sa tangente en un point.

L'objectif

Décrire localement la position du graphe d'une fonction par rapport à sa tangente en un point.

Le principe

Soit $f$ admettant en $x_0$ un DL d'ordre 2 de la forme $f(x) = a_0 + a_1 (x - x_0) + a_2 (x - x_0)^2 + \underset{x_0}{o}((x - x_0)^2)$ avec $a_2 \neq 0$ . La tangente en $x_0$ a pour équation $y = a_0 + a_1 (x - x_0)$ , et $f(x) - [a_0 + a_1 (x - x_0)] \underset{x_0}{\sim} a_2 (x - x_0)^2$ . Si $a_2 > 0$ , le graphe est localement au-dessus de la tangente (concavité tournée vers le haut) ; si $a_2 < 0$ , il est localement en dessous (concavité tournée vers le bas).

La méthode

1
Je détermine le DL de $f$ à l'ordre 2 en $x_0$ et j'identifie les coefficients $a_0$ , $a_1$ , $a_2$ .
Comment écrire le DL à l'ordre 1 ou 2 d'une fonction de classe $C^1$ ou $C^2$ en $x_0$ ?Voir
2
J'écris l'équation de la tangente $T : y = a_0 + a_1 (x - x_0)$ et j'observe que $f(x) - y \underset{x_0}{\sim} a_2 (x - x_0)^2$ .
3
Je discute le signe de $a_2$ : si $a_2 > 0$ , le graphe est localement au-dessus de la tangente ; si $a_2 < 0$ , il est localement en dessous. Je conclus en représentant l'allure locale.

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Exercice d'exemple

Étudier la position locale du graphe de $f(x) = e^x$ par rapport à sa tangente en $x_0 = 0$ .

Étape 1 —

Je détermine le DL de

f

à l'ordre 2 en

x_0

et j'identifie les coefficients

a_0

a_1

a_2

Le DL usuel donne $e^x = 1 + x + \dfrac{x^2}{2} + \underset{0}{o}(x^2)$ , donc $a_0 = 1$ , $a_1 = 1$ , $a_2 = \dfrac{1}{2}$ .

Étape 2 —

J'écris l'équation de la tangente

T : y = a_0 + a_1 (x - x_0)

et j'observe que

f(x) - y \underset{x_0}{\sim} a_2 (x - x_0)^2

La tangente en 0 a pour équation $T : y = 1 + x$ , et $e^x - (1+x) \underset{0}{\sim} \dfrac{x^2}{2}$ .

Étape 3 —

Je discute le signe de

a_2

: si

a_2 > 0

, le graphe est localement au-dessus de la tangente ; si

a_2 < 0

, il est localement en dessous. Je conclus en représentant l'allure locale.

Comme $a_2 = \dfrac{1}{2} > 0$ , le graphe de $f$ est localement au-dessus de sa tangente en 0.

Le graphe de $e^x$ est localement au-dessus de sa tangente $y = 1 + x$ en 0.

Application guidée

Étudier la position locale du graphe de $f(x) = \ln(1+x)$ par rapport à sa tangente en $x_0 = 0$ .

Application autonome 1

Étudier la position locale du graphe de $f(x) = \sqrt{x}$ par rapport à sa tangente en $x_0 = 1$ .

Application autonome 2

Étudier la position locale du graphe de $f(x) = (1+x)^3$ par rapport à sa tangente en $x_0 = 0$ .

Application autonome 3

Étudier la position locale du graphe de $f(x) = \cos(x)$ par rapport à sa tangente en $x_0 = 0$ .

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En analysant le signe de a2a_2a2​ pour conclure

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En analysant le signe de $a_2$ pour conclure