Comment montrer que $X$ admet une variance et la calculer ?

En vérifiant l'existence de $\mathbb{E}(X^2)$ et en appliquant $V(X) = \mathbb{E}(X^2) - \mathbb{E}(X)^2$

L'objectif

Établir que $X$ admet une variance et la calculer via la formule de Koenig-Huygens.

Le principe

$X$ admet une variance si et seulement si $\mathbb{E}(X^2)$ existe (ce qui implique l'existence de $\mathbb{E}(X)$ ) ; on a alors $V(X) = \mathbb{E}(X^2) - \mathbb{E}(X)^2$ , où $\mathbb{E}(X^2)$ se calcule par le théorème de transfert : $\mathbb{E}(X^2) = \int t^2 f_X(t)\,\mathrm{d}t$ .

La méthode

1
Je vérifie que $\mathbb{E}(X)$ existe en justifiant la convergence absolue de $\int t\,f_X(t)\,\mathrm{d}t$ , et je la calcule.
Comment montrer que $X$ admet une espérance et la calculer ?Voir
2
Je justifie l'existence de $\mathbb{E}(X^2)$ en établissant la convergence absolue de $\int t^2 f_X(t)\,\mathrm{d}t$ (théorème de transfert appliqué à $g(t) = t^2$ ).
3
Je calcule $\mathbb{E}(X^2) = \int_{-\infty}^{+\infty} t^2 f_X(t)\,\mathrm{d}t$ , par primitive ou intégration par parties.
4
J'applique la formule de Koenig-Huygens $V(X) = \mathbb{E}(X^2) - \mathbb{E}(X)^2$ pour obtenir la variance.

Exemple corrigé

Difficulté croissante de 1 à 3

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En vérifiant l'existence de E(X2)\mathbb{E}(X^2)E(X2) et en appliquant V(X)=E(X2)−E(X)2V(X) = \mathbb{E}(X^2) - \mathbb{E}(X)^2V(X)=E(X2)−E(X)2

Exemple corrigé

En vérifiant l'existence de $\mathbb{E}(X^2)$ et en appliquant $V(X) = \mathbb{E}(X^2) - \mathbb{E}(X)^2$