En calculant $\mathbb{E}(g(X)) = \int g(t)\,f_X(t)\,\mathrm{d}t$ sous réserve de convergence absolue

Calculer $\mathbb{E}(g(X))$ pour une fonction $g$ donnée sans avoir à déterminer la loi de $g(X)$ .

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Soit $X \hookrightarrow \mathcal{U}([0, 1])$ . Calculer $\mathbb{E}(\mathrm{e}^X)$ .

L'objectif

Calculer $\mathbb{E}(g(X))$ pour une fonction $g$ donnée sans avoir à déterminer la loi de $g(X)$ .

Le principe

Théorème de transfert (résultat admis) : si $X$ est une variable de densité $f$ nulle hors d'un intervalle $]a, b[$ (avec $-\infty \leq a < b \leq +\infty$ ) et si $g$ est continue sur $]a, b[$ sauf en un nombre fini de points, alors $g(X)$ admet une espérance si et seulement si $\int_a^b g(t)\,f(t)\,\mathrm{d}t$ converge absolument, et dans ce cas $\mathbb{E}(g(X)) = \int_a^b g(t)\,f(t)\,\mathrm{d}t$ .

La méthode

1
Je vérifie les hypothèses du théorème : $f_X$ est nulle hors d'un intervalle $]a, b[$ et $g$ est continue sur $]a, b[$ sauf éventuellement en un nombre fini de points.
2
J'écris l'intégrale $\int_a^b g(t)\,f_X(t)\,\mathrm{d}t$ et j'étudie sa convergence absolue : je majore $|g(t)|\,f_X(t)$ ou j'utilise les croissances comparées.
3
Une fois la convergence absolue assurée, je calcule l'intégrale $\int_a^b g(t)\,f_X(t)\,\mathrm{d}t$ par primitive, intégration par parties ou changement de variable.
4
Je conclus : $\mathbb{E}(g(X)) = \int_a^b g(t)\,f_X(t)\,\mathrm{d}t$ , et j’en donne la valeur numérique.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Soit $X \hookrightarrow \mathcal{U}([0, 1])$ . Calculer $\mathbb{E}(\mathrm{e}^X)$ .

Étape 1 —

Je vérifie les hypothèses du théorème :

f_X

est nulle hors d'un intervalle

]a, b[

g

est continue sur

]a, b[

sauf éventuellement en un nombre fini de points.

$f_X$ est nulle hors de $]0, 1[$ et $g \colon t \mapsto \mathrm{e}^t$ est continue sur $]0, 1[$ : les hypothèses du théorème sont vérifiées.

Étape 2 —

J'écris l'intégrale

\int_a^b g(t)\,f_X(t)\,\mathrm{d}t

et j'étudie sa convergence absolue : je majore

|g(t)|\,f_X(t)

ou j'utilise les croissances comparées.

Sur le segment $[0, 1]$ , $|g(t)|\,f_X(t) = \mathrm{e}^t \leq \mathrm{e}$ continue, donc l'intégrale $\int_0^1 \mathrm{e}^t\,\mathrm{d}t$ converge absolument.

Étape 3 —

Une fois la convergence absolue assurée, je calcule l'intégrale

\int_a^b g(t)\,f_X(t)\,\mathrm{d}t

par primitive, intégration par parties ou changement de variable.

On calcule $\int_0^1 \mathrm{e}^t \cdot 1\,\mathrm{d}t = [\mathrm{e}^t]_0^1 = \mathrm{e} - 1$ .

Étape 4 —

Je conclus :

\mathbb{E}(g(X)) = \int_a^b g(t)\,f_X(t)\,\mathrm{d}t

, et j’en donne la valeur numérique.

On conclut : $\mathbb{E}(\mathrm{e}^X) = \mathrm{e} - 1$ .

$\mathbb{E}(\mathrm{e}^X) = \mathrm{e} - 1$ .

Application guidée

Soit $X \hookrightarrow \mathcal{E}(1)$ . Calculer $\mathbb{E}\!\left( \dfrac{1}{X + 1} \right)$ après l'avoir justifiée.

Application autonome 1

Soit $X$ de densité $f(t) = 2t$ pour $t \in [0, 1]$ et $0$ sinon. Calculer $\mathbb{E}(\ln(1 + X))$ .

Application autonome 2

Soit $X \hookrightarrow \mathcal{U}([0, 1])$ . Calculer $\mathbb{E}(X^2)$ par transfert.

Application autonome 3

Soit $X \hookrightarrow \mathcal{E}(2)$ de densité $f(t) = 2\mathrm{e}^{-2t}\,\mathbf{1}_{t \geq 0}$ . Calculer $\mathbb{E}(X^2)$ .

Crée ton compte pour accéder à la fiche et aux exercices

En calculant E(g(X))=∫g(t) fX(t) dt\mathbb{E}(g(X)) = \int g(t)\,f_X(t)\,\mathrm{d}tE(g(X))=∫g(t)fX​(t)dt sous réserve de convergence absolue

Pour comprendre, fais des exercices !

En calculant $\mathbb{E}(g(X)) = \int g(t)\,f_X(t)\,\mathrm{d}t$ sous réserve de convergence absolue