Comment appliquer le théorème de transfert ?

En calculant $\mathbb{E}(g(X)) = \int g(t)\,f_X(t)\,\mathrm{d}t$ sous réserve de convergence absolue

L'objectif

Calculer $\mathbb{E}(g(X))$ pour une fonction $g$ donnée sans avoir à déterminer la loi de $g(X)$ .

Le principe

Théorème de transfert (résultat admis) : si $X$ est une variable de densité $f$ nulle hors d'un intervalle $]a, b[$ (avec $-\infty \leq a < b \leq +\infty$ ) et si $g$ est continue sur $]a, b[$ sauf en un nombre fini de points, alors $g(X)$ admet une espérance si et seulement si $\int_a^b g(t)\,f(t)\,\mathrm{d}t$ converge absolument, et dans ce cas $\mathbb{E}(g(X)) = \int_a^b g(t)\,f(t)\,\mathrm{d}t$ .

La méthode

1
Je vérifie les hypothèses du théorème : $f_X$ est nulle hors d'un intervalle $]a, b[$ et $g$ est continue sur $]a, b[$ sauf éventuellement en un nombre fini de points.
2
J'écris l'intégrale $\int_a^b g(t)\,f_X(t)\,\mathrm{d}t$ et j'étudie sa convergence absolue : je majore $|g(t)|\,f_X(t)$ ou j'utilise les croissances comparées.
3
Une fois la convergence absolue assurée, je calcule l'intégrale $\int_a^b g(t)\,f_X(t)\,\mathrm{d}t$ par primitive, intégration par parties ou changement de variable.
4
Je conclus : $\mathbb{E}(g(X)) = \int_a^b g(t)\,f_X(t)\,\mathrm{d}t$ avec sa valeur explicite.

Exemple corrigé

Difficulté croissante de 1 à 3

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En calculant E(g(X))=∫g(t) fX(t) dt\mathbb{E}(g(X)) = \int g(t)\,f_X(t)\,\mathrm{d}tE(g(X))=∫g(t)fX​(t)dt sous réserve de convergence absolue

Exemple corrigé

En calculant $\mathbb{E}(g(X)) = \int g(t)\,f_X(t)\,\mathrm{d}t$ sous réserve de convergence absolue