Comment déterminer la fonction de répartition $F_X$ d'une variable à densité $X$ ?

En calculant $F_X(x) = \int_{-\infty}^{x} f_X(t)\,\mathrm{d}t$ par intégration de la densité

L'objectif

Obtenir la fonction de répartition $F_X$ d'une variable aléatoire à densité $X$ à partir d'une de ses densités $f_X$ .

Le principe

Résultat admis : si $X$ est une variable à densité $f_X$ , alors pour tout $x \in \mathbb{R}$ , $F_X(x) = \mathbb{P}(X \leq x) = \int_{-\infty}^{x} f_X(t)\,\mathrm{d}t$ .

La méthode

1
J'identifie les intervalles où $f_X$ est non nulle, ce qui détermine un découpage de $\mathbb{R}$ pour le calcul.
2
Pour chaque morceau du découpage, je calcule $F_X(x) = \int_{-\infty}^{x} f_X(t)\,\mathrm{d}t$ en utilisant la relation de Chasles.
3
Je vérifie la cohérence aux points de raccord (continuité de $F_X$ ) ainsi que les limites $\displaystyle\lim_{x \to -\infty} F_X(x) = 0$ et $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} F_X(x) = 1$ .
4
J'écris $F_X$ par cas, ce qui définit complètement la fonction de répartition.

Exemple corrigé

Difficulté croissante de 1 à 3

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En calculant FX(x)=∫−∞xfX(t) dtF_X(x) = \int_{-\infty}^{x} f_X(t)\,\mathrm{d}tFX​(x)=∫−∞x​fX​(t)dt par intégration de la densité

Exemple corrigé

En calculant $F_X(x) = \int_{-\infty}^{x} f_X(t)\,\mathrm{d}t$ par intégration de la densité