Comment montrer qu'une fonction $f$ positive est une densité de probabilité ? | MetMat

Comment montrer qu'une fonction $f$ positive est une densité de probabilité ?

En vérifiant que $f \geq 0$ , $f$ continue sauf en un nombre fini de points, et $\int_{-\infty}^{+\infty} f(t)\,\mathrm{d}t = 1$

Montrer qu'une fonction $f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ est une densité de probabilité.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Soit $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(t) = 1$ si $t \in [0, 1]$ et $f(t) = 0$ sinon. Montrer que $f$ est une densité.

L'objectif

Montrer qu'une fonction $f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ est une densité de probabilité.

Le principe

Résultat admis du B.O. : toute fonction $f$ positive, continue sur $\mathbb{R}$ éventuellement privé d'un nombre fini de points, et telle que $\int_{-\infty}^{+\infty} f(t)\,\mathrm{d}t = 1$ est la densité d'une variable aléatoire.

La méthode

1
Je vérifie que $f(t) \geq 0$ pour tout $t \in \mathbb{R}$ , en distinguant éventuellement plusieurs intervalles.
2
Je vérifie que $f$ est continue sur $\mathbb{R}$ , sauf éventuellement en un nombre fini de points que j'identifie.
3
Je calcule $\int_{-\infty}^{+\infty} f(t)\,\mathrm{d}t$ via la relation de Chasles sur les intervalles où $f$ est non nulle, en justifiant la convergence des intégrales impropres.
4
Si l'intégrale vaut $1$ , je conclus que $f$ est une densité de probabilité.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Soit $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(t) = 1$ si $t \in [0, 1]$ et $f(t) = 0$ sinon. Montrer que $f$ est une densité.

Étape 1 —

Je vérifie que

f(t) \geq 0

pour tout

t \in \mathbb{R}

, en distinguant éventuellement plusieurs intervalles.

On a $f(t) = 1 \geq 0$ sur $[0, 1]$ et $f(t) = 0 \geq 0$ ailleurs, donc $f \geq 0$ sur $\mathbb{R}$ .

Étape 2 —

Je vérifie que

f

est continue sur

\mathbb{R}

, sauf éventuellement en un nombre fini de points que j'identifie.

$f$ est constante par morceaux, donc continue sur $\mathbb{R} \setminus \{0, 1\}$ : elle est continue sauf en deux points.

Étape 3 —

Je calcule

\int_{-\infty}^{+\infty} f(t)\,\mathrm{d}t

via la relation de Chasles sur les intervalles où

f

est non nulle, en justifiant la convergence des intégrales impropres.

On calcule $\int_{-\infty}^{+\infty} f(t)\,\mathrm{d}t = \int_0^1 1\,\mathrm{d}t = 1$ .

Étape 4 —

Si l'intégrale vaut

1

, je conclus que

f

est une densité de probabilité.

L'intégrale vaut $1$ , donc $f$ est une densité (c'est la densité de la loi uniforme sur $[0, 1]$ ).

$f$ est une densité de probabilité (loi uniforme sur $[0, 1]$ ).

Application guidée

Soit $\lambda > 0$ et $f$ définie par $f(t) = \lambda \mathrm{e}^{-\lambda t}$ si $t \geq 0$ et $f(t) = 0$ si $t < 0$ . Montrer que $f$ est une densité.

Application autonome 1

Déterminer la constante $c \in \mathbb{R}$ pour que $f(t) = c\,t$ si $t \in [0, 2]$ et $f(t) = 0$ sinon soit une densité.

Application autonome 2

Soit $f(t) = \dfrac{1}{2}\mathrm{e}^{-|t|}$ pour $t \in \mathbb{R}$ . Montrer que $f$ est une densité.

Application autonome 3

Déterminer $c > 0$ tel que $f(t) = c(1 - t^2)$ pour $t \in [-1, 1]$ et $f(t) = 0$ sinon soit une densité.

Crée ton compte pour accéder à la fiche et aux exercices

En vérifiant que f≥0f \geq 0f≥0, fff continue sauf en un nombre fini de points, et ∫−∞+∞f(t) dt=1\int_{-\infty}^{+\infty} f(t)\,\mathrm{d}t = 1∫−∞+∞​f(t)dt=1

Pour comprendre, fais des exercices !

En vérifiant que $f \geq 0$ , $f$ continue sauf en un nombre fini de points, et $\int_{-\infty}^{+\infty} f(t)\,\mathrm{d}t = 1$