Comment déterminer la loi de $aX + b$ (transformation affine) à partir de celle de $X$ ? | MetMat

Comment déterminer la loi de $aX + b$ (transformation affine) à partir de celle de $X$ ?

En calculant $F_{aX+b}(x) = \mathbb{P}(aX + b \leq x)$ puis en dérivant pour obtenir la densité (cas $a > 0$ et $a < 0$ )

Déterminer la fonction de répartition et une densité de $Y = aX + b$ avec $a \neq 0$ , à partir de la loi de $X$ .

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Soit $X \hookrightarrow \mathcal{U}([0, 1])$ . Déterminer la loi de $Y = 3X + 2$ .

L'objectif

Déterminer la fonction de répartition et une densité de $Y = aX + b$ avec $a \neq 0$ , à partir de la loi de $X$ .

Le principe

On exprime $F_Y(x) = \mathbb{P}(aX + b \leq x)$ en fonction de $F_X$ en isolant $X$ , en distinguant $a > 0$ (l'inégalité est conservée) et $a < 0$ (l'inégalité est renversée), puis on dérive pour obtenir la densité.

La méthode

1
Je pose $Y = aX + b$ avec $a \neq 0$ et je vérifie que je connais la fonction de répartition $F_X$ ou une densité $f_X$ de $X$ .
2
Je distingue les deux cas selon le signe de $a$ et j'isole $X$ : si $a > 0$ , $aX + b \leq x \iff X \leq \dfrac{x - b}{a}$ donc $F_Y(x) = F_X\!\left( \dfrac{x - b}{a} \right)$ ; si $a < 0$ , l'inégalité s'inverse et $F_Y(x) = \mathbb{P}\!\left( X \geq \dfrac{x - b}{a} \right) = 1 - F_X\!\left( \dfrac{x - b}{a} \right)$ .
3
Je dérive $F_Y$ par rapport à $x$ , en utilisant la dérivation d'une composée : $F_Y'(x) = \dfrac{1}{|a|} f_X\!\left( \dfrac{x - b}{a} \right)$ .
4
J'écris la densité $f_Y(x) = \dfrac{1}{|a|}\,f_X\!\left( \dfrac{x - b}{a} \right)$ et j'identifie éventuellement la loi obtenue.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Soit $X \hookrightarrow \mathcal{U}([0, 1])$ . Déterminer la loi de $Y = 3X + 2$ .

Étape 1 —

Je pose

Y = aX + b

avec

a \neq 0

et je vérifie que je connais la fonction de répartition

F_X

ou une densité

f_X

X

On a $a = 3 > 0$ , $b = 2$ , et $f_X(t) = 1$ si $t \in [0, 1]$ , $0$ sinon ; $F_X(t) = t$ sur $[0, 1]$ .

Étape 2 —

Je distingue les deux cas selon le signe de

a

et j'isole

X

: si

a > 0

aX + b \leq x \iff X \leq \dfrac{x - b}{a}

donc

F_Y(x) = F_X\!\left( \dfrac{x - b}{a} \right)

; si

a < 0

, l'inégalité s'inverse et

F_Y(x) = \mathbb{P}\!\left( X \geq \dfrac{x - b}{a} \right) = 1 - F_X\!\left( \dfrac{x - b}{a} \right)

Comme $a > 0$ : $F_Y(x) = \mathbb{P}(3X + 2 \leq x) = \mathbb{P}\!\left( X \leq \dfrac{x - 2}{3} \right) = F_X\!\left( \dfrac{x - 2}{3} \right)$ . Cela vaut $0$ si $x < 2$ , $\dfrac{x - 2}{3}$ si $x \in [2, 5]$ , $1$ si $x > 5$ .

Étape 3 —

Je dérive

F_Y

par rapport à

x

, en utilisant la dérivation d'une composée :

F_Y'(x) = \dfrac{1}{|a|} f_X\!\left( \dfrac{x - b}{a} \right)

On dérive : $f_Y(x) = \dfrac{1}{3}$ si $x \in [2, 5]$ , $0$ sinon.

Étape 4 —

J'écris la densité

f_Y(x) = \dfrac{1}{|a|}\,f_X\!\left( \dfrac{x - b}{a} \right)

et j'identifie éventuellement la loi obtenue.

$Y$ suit la loi uniforme $\mathcal{U}([2, 5])$ .

$Y \hookrightarrow \mathcal{U}([2, 5])$ , de densité $f_Y(x) = \dfrac{1}{3}\mathbf{1}_{[2, 5]}(x)$ .

Application guidée

Soit $X \hookrightarrow \mathcal{E}(1)$ . Déterminer la loi de $Y = -X + 5$ .

Application autonome 1

Soit $X$ une variable de densité $f_X(t) = 2t$ pour $t \in [0, 1]$ et $0$ sinon. Déterminer la densité de $Y = 2X - 1$ .

Application autonome 2

Soit $X \hookrightarrow \mathcal{N}(0, 1)$ . Déterminer la loi de $Y = \sigma X + \mu$ avec $\sigma > 0$ et $\mu \in \mathbb{R}$ .

Application autonome 3

Soit $X \hookrightarrow \mathcal{U}([0, 1])$ . Déterminer la loi de $Y = -2 X + 3$ .

Crée ton compte pour accéder à la fiche et aux exercices

En calculant FaX+b(x)=P(aX+b≤x)F_{aX+b}(x) = \mathbb{P}(aX + b \leq x)FaX+b​(x)=P(aX+b≤x) puis en dérivant pour obtenir la densité (cas a>0a > 0a>0 et a<0a < 0a<0)

Pour comprendre, fais des exercices !

En calculant $F_{aX+b}(x) = \mathbb{P}(aX + b \leq x)$ puis en dérivant pour obtenir la densité (cas $a > 0$ et $a < 0$ )