Comment calculer la variance d'une somme $V(X + Y)$ ? | MetMat

Comment calculer la variance d'une somme $V(X + Y)$ ?

En appliquant $V(X + Y) = V(X) + V(Y) + 2\, \mathrm{Cov}(X, Y)$

Calculer la variance de $X + Y$ pour deux v.a. discrètes admettant un moment d'ordre $2$ .

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Soient $X$ et $Y$ deux v.a. indépendantes suivant la loi binomiale $\mathcal{B}(n, p)$ avec $n \geq 1$ et $p \in (0, 1)$ . Calculer $V(X + Y)$ .

L'objectif

Calculer la variance de $X + Y$ pour deux v.a. discrètes admettant un moment d'ordre $2$ .

Le principe

Si $X$ et $Y$ admettent un moment d'ordre $2$ , alors $X + Y$ aussi et $V(X + Y) = V(X) + V(Y) + 2\, \mathrm{Cov}(X, Y)$ ; en particulier, si $X$ et $Y$ sont indépendantes, $V(X + Y) = V(X) + V(Y)$ .

La méthode

1
Je vérifie que $X$ et $Y$ admettent un moment d'ordre $2$ (toujours vrai si $X(\Omega)$ et $Y(\Omega)$ sont finis).
2
Je calcule $V(X)$ et $V(Y)$ via Koenig-Huygens ou via la loi reconnue (Bernoulli, binomiale, Poisson…).
3
Je calcule $\mathrm{Cov}(X, Y) = E(XY) - E(X) E(Y)$ ; si $X$ et $Y$ sont indépendantes, je justifie que $\mathrm{Cov}(X, Y) = 0$ .
Comment calculer $\mathrm{Cov}(X, Y)$ et $\rho(X, Y)$ ?Voir
4
J'applique $V(X + Y) = V(X) + V(Y) + 2\, \mathrm{Cov}(X, Y)$ et je conclus.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Soient $X$ et $Y$ deux v.a. indépendantes suivant la loi binomiale $\mathcal{B}(n, p)$ avec $n \geq 1$ et $p \in (0, 1)$ . Calculer $V(X + Y)$ .

Étape 1 —

Je vérifie que

X

Y

admettent un moment d'ordre

2

(toujours vrai si

X(\Omega)

Y(\Omega)

sont finis).

Une loi binomiale est à support fini, donc admet un moment d'ordre $2$ .

Étape 2 —

Je calcule

V(X)

V(Y)

via Koenig-Huygens ou via la loi reconnue (Bernoulli, binomiale, Poisson…).

$V(X) = V(Y) = np(1 - p)$ (loi binomiale).

Étape 3 —

Je calcule

\mathrm{Cov}(X, Y) = E(XY) - E(X) E(Y)

; si

X

Y

sont indépendantes, je justifie que

\mathrm{Cov}(X, Y) = 0

Comme $X$ et $Y$ sont indépendantes, $\mathrm{Cov}(X, Y) = 0$ .

Étape 4 —

J'applique

V(X + Y) = V(X) + V(Y) + 2\, \mathrm{Cov}(X, Y)

et je conclus.

$V(X + Y) = np(1 - p) + np(1 - p) + 0 = 2np(1 - p)$ , ce qui est cohérent avec $X + Y \hookrightarrow \mathcal{B}(2n, p)$ (stabilité).

$V(X + Y) = 2np(1 - p)$ .

Application guidée

La loi conjointe de $(X, Y)$ est : $P([X = 0] \cap [Y = 0]) = \tfrac{1}{8}$ , $P([X = 0] \cap [Y = 1]) = \tfrac{1}{4}$ , $P([X = 1] \cap [Y = 0]) = \tfrac{1}{4}$ , $P([X = 1] \cap [Y = 1]) = \tfrac{3}{8}$ . Calculer $V(X + Y)$ .

Application autonome 1

On lance deux dés équilibrés. $X$ est le résultat du premier dé et $Y = \max(X, Z)$ . Calculer $V(X + Y)$ sachant que $V(X) = \tfrac{35}{12}$ , $V(Y) = \tfrac{2555}{1296}$ et $\mathrm{Cov}(X, Y) = \tfrac{35}{24}$ .

Application autonome 2

Soient $X$ et $Y$ telles que $V(X) = 4$ , $V(Y) = 9$ et $\mathrm{Cov}(X, Y) = -2$ . Calculer $V(X + Y)$ et $V(X - Y)$ .

Application autonome 3

Soient $X, Y$ deux v.a. indépendantes suivant la loi de Poisson $\mathcal{P}(\lambda)$ et $\mathcal{P}(\mu)$ avec $\lambda, \mu > 0$ . Calculer $V(X + Y)$ .

Crée ton compte pour accéder à la fiche et aux exercices

En appliquant V(X+Y)=V(X)+V(Y)+2 Cov(X,Y)V(X + Y) = V(X) + V(Y) + 2\, \mathrm{Cov}(X, Y)V(X+Y)=V(X)+V(Y)+2Cov(X,Y)

Pour comprendre, fais des exercices !

En appliquant $V(X + Y) = V(X) + V(Y) + 2\, \mathrm{Cov}(X, Y)$