En appliquant $E(g(X, Y)) = \sum_{(x, y)} g(x, y)\, P([X = x] \cap [Y = y])$

Calculer $E(g(X, Y))$ pour une fonction $g$ donnée et un couple discret $(X, Y)$ dont on connaît la loi conjointe.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

La loi conjointe de $(X, Y)$ est : $P([X = 0] \cap [Y = 0]) = \tfrac{1}{8}$ , $P([X = 0] \cap [Y = 1]) = \tfrac{1}{4}$ , $P([X = 1] \cap [Y = 0]) = \tfrac{1}{4}$ , $P([X = 1] \cap [Y = 1]) = \tfrac{3}{8}$ . Calculer $E(XY)$ .

L'objectif

Calculer $E(g(X, Y))$ pour une fonction $g$ donnée et un couple discret $(X, Y)$ dont on connaît la loi conjointe.

Le principe

Théorème de transfert (admis au BO) : si $\sum_{(x, y) \in X(\Omega) \times Y(\Omega)} |g(x, y)|\, P([X = x] \cap [Y = y])$ converge, alors $E(g(X, Y)) = \sum_{(x, y) \in X(\Omega) \times Y(\Omega)} g(x, y)\, P([X = x] \cap [Y = y])$ .

La méthode

1
Je vérifie l'hypothèse d'existence : la somme $\sum_{(x, y)} |g(x, y)|\, P([X = x] \cap [Y = y])$ converge (toujours vrai si $X(\Omega) \times Y(\Omega)$ est fini).
2
Je dresse la liste des couples $(x, y) \in X(\Omega) \times Y(\Omega)$ et des valeurs $g(x, y)$ et $P([X = x] \cap [Y = y])$ correspondantes.
3
J'applique la formule $E(g(X, Y)) = \sum_{(x, y) \in X(\Omega) \times Y(\Omega)} g(x, y)\, P([X = x] \cap [Y = y])$ et je calcule la somme (éventuellement par regroupement, factorisation ou Fubini).
4
Je conclus et, si possible, je vérifie le résultat par une méthode alternative (linéarité de l'espérance, indépendance pour $E(XY)$ , etc.).

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Étape 1 —

Je vérifie l'hypothèse d'existence : la somme

\sum_{(x, y)} |g(x, y)|\, P([X = x] \cap [Y = y])

converge (toujours vrai si

X(\Omega) \times Y(\Omega)

est fini).

Comme $X(\Omega) \times Y(\Omega) = \{0, 1\}^2$ est fini, l'hypothèse de convergence est automatique.

Étape 2 —

Je dresse la liste des couples

(x, y) \in X(\Omega) \times Y(\Omega)

et des valeurs

g(x, y)

P([X = x] \cap [Y = y])

correspondantes.

On dresse le tableau : $g(0, 0) = 0$ , $g(0, 1) = 0$ , $g(1, 0) = 0$ , $g(1, 1) = 1$ avec les probabilités correspondantes.

Étape 3 —

J'applique la formule

E(g(X, Y)) = \sum_{(x, y) \in X(\Omega) \times Y(\Omega)} g(x, y)\, P([X = x] \cap [Y = y])

et je calcule la somme (éventuellement par regroupement, factorisation ou Fubini).

$E(XY) = 0 \cdot \tfrac{1}{8} + 0 \cdot \tfrac{1}{4} + 0 \cdot \tfrac{1}{4} + 1 \cdot \tfrac{3}{8} = \tfrac{3}{8}$ .

Étape 4 —

Je conclus et, si possible, je vérifie le résultat par une méthode alternative (linéarité de l'espérance, indépendance pour

E(XY)

, etc.).

On vérifie : $E(X) = \tfrac{5}{8}$ , $E(Y) = \tfrac{5}{8}$ , donc $E(X)E(Y) = \tfrac{25}{64} \neq \tfrac{3}{8}$ , ce qui est cohérent (les variables ne sont pas indépendantes).

$E(XY) = \dfrac{3}{8}$ .

Application guidée

On lance deux dés équilibrés. $X$ est le résultat du premier dé, $Y$ celui du second. Calculer $E(\max(X, Y))$ .

Application autonome 1

Soient $X$ et $Y$ deux v.a. indépendantes suivant la loi géométrique $\mathcal{G}(p)$ ( $0 < p < 1$ , $q = 1 - p$ ). Calculer $E(\min(X, Y))$ par théorème de transfert.

Application autonome 2

$(X, Y)$ a pour loi conjointe $P([X = i] \cap [Y = j]) = \dfrac{1}{9}$ pour $(i, j) \in \{1, 2, 3\}^2$ . Calculer $E(X + Y)$ .

Application autonome 3

$(X, Y)$ a pour loi $P([X = 0] \cap [Y = 0]) = \tfrac{1}{2}$ , $P([X = 1] \cap [Y = 0]) = \tfrac{1}{4}$ et $P([X = 0] \cap [Y = 1]) = P([X = 1] \cap [Y = 1]) = \tfrac{1}{8}$ . Calculer $E(X Y)$ .

Crée ton compte pour accéder à la fiche et aux exercices

En appliquant E(g(X,Y))=∑(x,y)g(x,y) P([X=x]∩[Y=y])E(g(X, Y)) = \sum_{(x, y)} g(x, y)\, P([X = x] \cap [Y = y])E(g(X,Y))=∑(x,y)​g(x,y)P([X=x]∩[Y=y])

Pour comprendre, fais des exercices !

En appliquant $E(g(X, Y)) = \sum_{(x, y)} g(x, y)\, P([X = x] \cap [Y = y])$