Comment déterminer la loi du min ou du max de deux v.a. discrètes indépendantes ? | MetMat

Comment déterminer la loi du min ou du max de deux v.a. discrètes indépendantes ?

En passant par les fonctions de répartition : $P(\max \leq k) = P(X \leq k)\, P(Y \leq k)$ et $P(\min > k) = P(X > k)\, P(Y > k)$

Déterminer la loi de $M = \max(X, Y)$ et de $m = \min(X, Y)$ pour deux v.a. discrètes indépendantes.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

On lance deux dés équilibrés indépendants. Soient $X$ et $Y$ les résultats. Déterminer la loi de $M = \max(X, Y)$ .

L'objectif

Déterminer la loi de $M = \max(X, Y)$ et de $m = \min(X, Y)$ pour deux v.a. discrètes indépendantes.

Le principe

Si $X$ et $Y$ sont indépendantes, alors $\{\max(X, Y) \leq k\} = \{X \leq k\} \cap \{Y \leq k\}$ donne $P(\max \leq k) = P(X \leq k)\, P(Y \leq k)$ ; et $\{\min(X, Y) > k\} = \{X > k\} \cap \{Y > k\}$ donne $P(\min > k) = P(X > k)\, P(Y > k)$ .

La méthode

1
Je vérifie que $X$ et $Y$ sont indépendantes (hypothèse essentielle de la méthode).
2
Pour le maximum : pour tout $k$ , j'écris $P(M \leq k) = P([X \leq k] \cap [Y \leq k]) = P(X \leq k)\, P(Y \leq k) = F_X(k)\, F_Y(k)$ ; pour le minimum, j'écris $P(m > k) = P(X > k)\, P(Y > k)$ .
3
Je passe aux probabilités élémentaires : $P(M = k) = P(M \leq k) - P(M \leq k - 1)$ ; $P(m = k) = P(m > k - 1) - P(m > k)$ (équivalent à $P(m \geq k) - P(m \geq k + 1)$ ).
4
Je vérifie que $\sum_{k} P(M = k) = 1$ et $\sum_{k} P(m = k) = 1$ , et je reconnais éventuellement une loi usuelle (notamment géométrique pour $\min$ de géométriques indépendantes).

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

On lance deux dés équilibrés indépendants. Soient $X$ et $Y$ les résultats. Déterminer la loi de $M = \max(X, Y)$ .

Étape 1 —

Je vérifie que

X

Y

sont indépendantes (hypothèse essentielle de la méthode).

$X$ et $Y$ sont indépendantes (lancers séparés) et suivent la loi uniforme sur $\{1, \ldots, 6\}$ .

Étape 2 —

Pour le maximum : pour tout

k

, j'écris

P(M \leq k) = P([X \leq k] \cap [Y \leq k]) = P(X \leq k)\, P(Y \leq k) = F_X(k)\, F_Y(k)

; pour le minimum, j'écris

P(m > k) = P(X > k)\, P(Y > k)

Pour $k \in \{1, \ldots, 6\}$ : $F_X(k) = F_Y(k) = \dfrac{k}{6}$ , donc $P(M \leq k) = \dfrac{k^2}{36}$ .

Étape 3 —

Je passe aux probabilités élémentaires :

P(M = k) = P(M \leq k) - P(M \leq k - 1)

;

P(m = k) = P(m > k - 1) - P(m > k)

(équivalent à

P(m \geq k) - P(m \geq k + 1)

Pour $k \in \{1, \ldots, 6\}$ : $P(M = k) = \dfrac{k^2}{36} - \dfrac{(k - 1)^2}{36} = \dfrac{2k - 1}{36}$ .

Étape 4 —

Je vérifie que

\sum_{k} P(M = k) = 1

\sum_{k} P(m = k) = 1

, et je reconnais éventuellement une loi usuelle (notamment géométrique pour

\min

de géométriques indépendantes).

On vérifie $\sum_{k = 1}^{6} \dfrac{2k - 1}{36} = \dfrac{1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11}{36} = 1$ , ce qui confirme la loi déjà obtenue par sommation directe.

$P(M = k) = \dfrac{2k - 1}{36}$ pour $k \in \{1, \ldots, 6\}$ .

Application guidée

Soient $X$ et $Y$ deux v.a. indépendantes suivant la loi géométrique $\mathcal{G}(p)$ (avec $0 < p < 1$ , $q = 1 - p$ ). Déterminer la loi de $m = \min(X, Y)$ .

Application autonome 1

Soient $X$ et $Y$ deux v.a. indépendantes suivant chacune la loi uniforme sur $\{1, 2, \ldots, n\}$ (avec $n \geq 1$ ). Déterminer la loi de $M = \max(X, Y)$ .

Application autonome 2

Soient $X$ et $Y$ indépendantes suivant la loi géométrique $\mathcal{G}(p)$ sur $\mathbb{N}^*$ (avec $0 < p < 1$ , $q = 1 - p$ ). Déterminer la loi de $M = \max(X, Y)$ .

Application autonome 3

Soient $X$ et $Y$ indépendantes de loi uniforme sur $\{1, 2, \ldots, 6\}$ (deux dés). Déterminer la loi de $m = \min(X, Y)$ .

Crée ton compte pour accéder à la fiche et aux exercices

En passant par les fonctions de répartition : P(max⁡≤k)=P(X≤k) P(Y≤k)P(\max \leq k) = P(X \leq k)\, P(Y \leq k)P(max≤k)=P(X≤k)P(Y≤k) et P(min⁡>k)=P(X>k) P(Y>k)P(\min > k) = P(X > k)\, P(Y > k)P(min>k)=P(X>k)P(Y>k)

Pour comprendre, fais des exercices !

En passant par les fonctions de répartition : $P(\max \leq k) = P(X \leq k)\, P(Y \leq k)$ et $P(\min > k) = P(X > k)\, P(Y > k)$