Comment déterminer la loi de $Z = g(X, Y)$ (cas $X + Y$ ou $XY$ ) ?

En identifiant $Z(\Omega)$ puis en sommant $P([Z = z]) = \sum_{g(x, y) = z} P([X = x] \cap [Y = y])$

L'objectif

Donner la loi de probabilité d'une variable aléatoire $Z = g(X, Y)$ obtenue à partir d'un couple discret $(X, Y)$ .

Le principe

Pour toute fonction $g \colon X(\Omega) \times Y(\Omega) \to \mathbb{R}$ , $Z = g(X, Y)$ est une v.a. discrète et $P([Z = z]) = \sum_{(x, y) \in X(\Omega) \times Y(\Omega),\ g(x, y) = z} P([X = x] \cap [Y = y])$ .

La méthode

1
Je détermine $Z(\Omega) = \{g(x, y) \mid (x, y) \in X(\Omega) \times Y(\Omega)\}$ en énumérant ou paramétrant les valeurs prises.
2
Pour chaque $z \in Z(\Omega)$ , je décris l'ensemble des couples $(x, y)$ tels que $g(x, y) = z$ .
3
Je calcule $P([Z = z]) = \sum_{(x, y) : g(x, y) = z} P([X = x] \cap [Y = y])$ en utilisant la loi conjointe.
4
Je vérifie que $\sum_{z \in Z(\Omega)} P([Z = z]) = 1$ , et je reconnais éventuellement une loi usuelle (binomiale, Poisson…).

Exemple corrigé

Difficulté croissante de 1 à 3

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En identifiant Z(Ω)Z(\Omega)Z(Ω) puis en sommant P([Z=z])=∑g(x,y)=zP([X=x]∩[Y=y])P([Z = z]) = \sum_{g(x, y) = z} P([X = x] \cap [Y = y])P([Z=z])=∑g(x,y)=z​P([X=x]∩[Y=y])

Exemple corrigé

En identifiant $Z(\Omega)$ puis en sommant $P([Z = z]) = \sum_{g(x, y) = z} P([X = x] \cap [Y = y])$