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Comment déterminer la loi conjointe d'un couple (X,Y)(X, Y) ?

En calculant P([X=xi]∩[Y=yj])P([X = x_i] \cap [Y = y_j]) pour tous (xi,yj)∈X(Ω)×Y(Ω)(x_i, y_j) \in X(\Omega) \times Y(\Omega) via un tableau ou une formule

L'objectif

Caractériser entièrement la loi du couple (X,Y)(X, Y) en donnant X(Ω)X(\Omega), Y(Ω)Y(\Omega) et toutes les probabilités P([X=xi]∩[Y=yj])P([X = x_i] \cap [Y = y_j]).

Le principe

La loi du couple discret (X,Y)(X, Y) est entièrement déterminée par les données de X(Ω)X(\Omega), Y(Ω)Y(\Omega) et de la famille (P([X=xi]∩[Y=yj]))(xi,yj)∈X(Ω)×Y(Ω)\bigl(P([X = x_i] \cap [Y = y_j])\bigr)_{(x_i, y_j) \in X(\Omega) \times Y(\Omega)}.

La méthode
  1. 1
    Je détermine soigneusement X(Ω)X(\Omega) et Y(Ω)Y(\Omega) à partir de l'expérience aléatoire.
  2. 2
    Pour chaque couple (xi,yj)∈X(Ω)×Y(Ω)(x_i, y_j) \in X(\Omega) \times Y(\Omega), j'identifie l'événement [X=xi]∩[Y=yj][X = x_i] \cap [Y = y_j] en revenant à l'expérience.
  3. 3
    Je calcule P([X=xi]∩[Y=yj])P([X = x_i] \cap [Y = y_j]) par dénombrement, formule des probabilités composées ou conditionnement.
  4. 4
    Je présente le résultat dans un tableau (cas fini) ou par une formule générale, et je vérifie que ∑i,jP([X=xi]∩[Y=yj])=1\sum_{i, j} P([X = x_i] \cap [Y = y_j]) = 1.

Exemple corrigé

Difficulté croissante de 1 à 3

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