Comment montrer l'indépendance de $X$ et $Y$ ?

En vérifiant que $P([X = x] \cap [Y = y]) = P([X = x])\, P([Y = y])$ pour tout $(x, y) \in X(\Omega) \times Y(\Omega)$

L'objectif

Démontrer (ou réfuter) que deux v.a. discrètes $X$ et $Y$ sont indépendantes.

Le principe

Définition (BO) : $X$ et $Y$ sont indépendantes si et seulement si pour tout $(x, y) \in X(\Omega) \times Y(\Omega)$ , $P([X = x] \cap [Y = y]) = P([X = x])\, P([Y = y])$ .

La méthode

1
Je détermine la loi conjointe et les lois marginales de $X$ et $Y$ (cf. méthodes des questions précédentes).
Comment déterminer la loi conjointe d'un couple $(X, Y)$ ?Voir
2
Pour tout $(x, y) \in X(\Omega) \times Y(\Omega)$ , je calcule le produit $P([X = x])\, P([Y = y])$ et je le compare à $P([X = x] \cap [Y = y])$ .
3
Si l'égalité est vraie pour tous les couples, je conclus que $X$ et $Y$ sont indépendantes ; sinon, il suffit d'exhiber UN seul couple $(x_0, y_0)$ pour lequel l'égalité est en défaut afin de réfuter l'indépendance.
4
Je confirme la conclusion et, le cas échéant, j'utilise des conséquences (ex : $E(XY) = E(X)E(Y)$ , $\mathrm{Cov}(X, Y) = 0$ ) pour vérifier la cohérence.

Exemple corrigé

Difficulté croissante de 1 à 3

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En vérifiant que P([X=x]∩[Y=y])=P([X=x]) P([Y=y])P([X = x] \cap [Y = y]) = P([X = x])\, P([Y = y])P([X=x]∩[Y=y])=P([X=x])P([Y=y]) pour tout (x,y)∈X(Ω)×Y(Ω)(x, y) \in X(\Omega) \times Y(\Omega)(x,y)∈X(Ω)×Y(Ω)

Exemple corrigé

En vérifiant que $P([X = x] \cap [Y = y]) = P([X = x])\, P([Y = y])$ pour tout $(x, y) \in X(\Omega) \times Y(\Omega)$