Comment calculer $\mathrm{Cov}(X, Y)$ et $\rho(X, Y)$ ? | MetMat

Comment calculer $\mathrm{Cov}(X, Y)$ et $\rho(X, Y)$ ?

En appliquant $\mathrm{Cov}(X, Y) = E(XY) - E(X)E(Y)$ puis $\rho = \dfrac{\mathrm{Cov}(X, Y)}{\sigma_X \sigma_Y}$

Calculer la covariance $\mathrm{Cov}(X, Y)$ et le coefficient de corrélation linéaire $\rho(X, Y)$ d'un couple $(X, Y)$ admettant un moment d'ordre $2$ .

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

La loi conjointe de $(X, Y)$ est : $P([X = 0] \cap [Y = 0]) = \tfrac{1}{8}$ , $P([X = 0] \cap [Y = 1]) = \tfrac{1}{4}$ , $P([X = 1] \cap [Y = 0]) = \tfrac{1}{4}$ , $P([X = 1] \cap [Y = 1]) = \tfrac{3}{8}$ . Calculer $\mathrm{Cov}(X, Y)$ et $\rho(X, Y)$ .

L'objectif

Calculer la covariance $\mathrm{Cov}(X, Y)$ et le coefficient de corrélation linéaire $\rho(X, Y)$ d'un couple $(X, Y)$ admettant un moment d'ordre $2$ .

Le principe

Si $X$ et $Y$ admettent un moment d'ordre $2$ , alors $XY$ admet une espérance et $\mathrm{Cov}(X, Y) = E(XY) - E(X)E(Y)$ ; si de plus $V(X) > 0$ et $V(Y) > 0$ , $\rho(X, Y) = \dfrac{\mathrm{Cov}(X, Y)}{\sigma_X \sigma_Y} \in [-1, 1]$ .

La méthode

1
Je vérifie que $X$ et $Y$ admettent un moment d'ordre $2$ (toujours vrai si $X(\Omega)$ et $Y(\Omega)$ sont finis).
2
Je calcule $E(X)$ , $E(Y)$ ainsi que $V(X)$ , $V(Y)$ via la formule de Koenig-Huygens $V(X) = E(X^2) - E(X)^2$ .
3
Je calcule $E(XY)$ par théorème de transfert : $E(XY) = \sum_{(x, y)} xy\, P([X = x] \cap [Y = y])$ ; puis j'en déduis $\mathrm{Cov}(X, Y) = E(XY) - E(X)E(Y)$ .
Comment calculer $E(g(X, Y))$ par théorème de transfert ?Voir
4
Si $V(X) > 0$ et $V(Y) > 0$ , je calcule $\rho(X, Y) = \dfrac{\mathrm{Cov}(X, Y)}{\sqrt{V(X)\, V(Y)}}$ et je vérifie $\rho \in [-1, 1]$ ; j'interprète le signe et l'amplitude.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Étape 1 —

Je vérifie que

X

Y

admettent un moment d'ordre

2

(toujours vrai si

X(\Omega)

Y(\Omega)

sont finis).

$X(\Omega) = Y(\Omega) = \{0, 1\}$ est fini, donc $X$ et $Y$ admettent un moment d'ordre $2$ .

Étape 2 —

Je calcule

E(X)

E(Y)

ainsi que

V(X)

V(Y)

via la formule de Koenig-Huygens

V(X) = E(X^2) - E(X)^2

On a $E(X) = E(Y) = \tfrac{5}{8}$ et $V(X) = V(Y) = \tfrac{5}{8} \cdot \tfrac{3}{8} = \tfrac{15}{64}$ (Bernoulli $\mathcal{B}(\tfrac{5}{8})$ ).

Étape 3 —

Je calcule

E(XY)

par théorème de transfert :

E(XY) = \sum_{(x, y)} xy\, P([X = x] \cap [Y = y])

; puis j'en déduis

\mathrm{Cov}(X, Y) = E(XY) - E(X)E(Y)

On calcule $E(XY) = \tfrac{3}{8}$ (cf. exemple précédent). Donc $\mathrm{Cov}(X, Y) = \tfrac{3}{8} - \tfrac{5}{8} \cdot \tfrac{5}{8} = \tfrac{24}{64} - \tfrac{25}{64} = -\tfrac{1}{64}$ .

Étape 4 —

V(X) > 0

V(Y) > 0

, je calcule

\rho(X, Y) = \dfrac{\mathrm{Cov}(X, Y)}{\sqrt{V(X)\, V(Y)}}

et je vérifie

\rho \in [-1, 1]

; j'interprète le signe et l'amplitude.

$\sigma_X \sigma_Y = \sqrt{V(X)\, V(Y)} = \tfrac{15}{64}$ . Donc $\rho(X, Y) = \dfrac{-1/64}{15/64} = -\tfrac{1}{15} \in [-1, 1]$ : faible corrélation négative.

$\mathrm{Cov}(X, Y) = -\dfrac{1}{64}$ et $\rho(X, Y) = -\dfrac{1}{15}$ .

Application guidée

On lance deux dés équilibrés. $X$ est le résultat du premier dé, $Y = \max(X, Z)$ où $Z$ est le résultat du second dé. Calculer $\mathrm{Cov}(X, Y)$ .

Application autonome 1

Soient $X$ et $Y$ deux v.a. indépendantes suivant chacune une loi de Poisson. Calculer $\mathrm{Cov}(X, Y)$ .

Application autonome 2

$(X, Y)$ suit la loi uniforme sur $\{(i, j) \in \{1, 2, 3\}^2 \mid i \leq j\}$ . Calculer $\mathrm{Cov}(X, Y)$ .

Application autonome 3

Soient $X \sim \mathcal{B}(1/2)$ et $Y = 1 - X$ . Calculer $\mathrm{Cov}(X, Y)$ et $\rho(X, Y)$ .

Crée ton compte pour accéder à la fiche et aux exercices

En appliquant Cov(X,Y)=E(XY)−E(X)E(Y)\mathrm{Cov}(X, Y) = E(XY) - E(X)E(Y)Cov(X,Y)=E(XY)−E(X)E(Y) puis ρ=Cov(X,Y)σXσY\rho = \dfrac{\mathrm{Cov}(X, Y)}{\sigma_X \sigma_Y}ρ=σX​σY​Cov(X,Y)​

Pour comprendre, fais des exercices !

En appliquant $\mathrm{Cov}(X, Y) = E(XY) - E(X)E(Y)$ puis $\rho = \dfrac{\mathrm{Cov}(X, Y)}{\sigma_X \sigma_Y}$