Comment appliquer le théorème central limite pour approximer une probabilité ? | MetMat

Comment appliquer le théorème central limite pour approximer une probabilité ?

En centrant-réduisant $\\bar{X}_n^* = \\dfrac{\\bar{X}_n - m}{\\sigma / \\sqrt{n}}$ et en approximant par $\\mathcal{N}(0, 1)$

Approcher $P([a \\leq \\bar{X}_n \\leq b])$ via la loi normale centrée réduite.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Soit $(X_n)$ i.i.d. de loi uniforme sur $[0, 1]$ ( $m = 1/2$ , $\\sigma^2 = 1/12$ ). Pour $n = 100$ , approcher $P([\\bar{X}_n \\geq 0{,}55])$ .

L'objectif

Approcher $P([a \\leq \\bar{X}_n \\leq b])$ via la loi normale centrée réduite.

Le principe

Si $(X_n)$ est i.i.d. avec $E(X_k) = m$ et $V(X_k) = \\sigma^2 \\neq 0$ , alors $\\bar{X}_n^* = \\dfrac{\\bar{X}_n - m}{\\sigma / \\sqrt{n}} \\xrightarrow[n \\to +\\infty]{\\mathcal{L}} \\mathcal{N}(0, 1)$ (TCL admis).

La méthode

1
Je vérifie que les $X_k$ sont indépendantes, de même loi, d'espérance $m$ et de variance $\\sigma^2 \\neq 0$ , et que $n$ est grand (typiquement $n \\geq 30$ ).
2
J'écris la probabilité demandée à l'aide de $\\bar{X}_n$ (ou de $S_n = X_1 + \\cdots + X_n$ ).
3
Je centre-réduis : $\\bar{X}_n^* = \\dfrac{\\bar{X}_n - m}{\\sigma / \\sqrt{n}}$ et je transforme l'événement en un événement sur $\\bar{X}_n^*$ .
4
Par le TCL, j'approche $\\bar{X}_n^*$ par $Z \\sim \\mathcal{N}(0, 1)$ et je conclus avec $\\Phi$ : $P([a \\leq \\bar{X}_n^* \\leq b]) \\approx \\Phi(b) - \\Phi(a)$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Soit $(X_n)$ i.i.d. de loi uniforme sur $[0, 1]$ ( $m = 1/2$ , $\\sigma^2 = 1/12$ ). Pour $n = 100$ , approcher $P([\\bar{X}_n \\geq 0{,}55])$ .

Étape 1 —

Je vérifie que les

X_k

sont indépendantes, de même loi, d'espérance

m

et de variance

\\sigma^2 \\neq 0

, et que

n

est grand (typiquement

n \\geq 30

Les $X_k$ sont i.i.d. avec $m = 1/2$ , $\\sigma^2 = 1/12$ ( $\\sigma = 1/\\sqrt{12}$ ), et $n = 100 \\geq 30$ : conditions du TCL réunies.

Étape 2 —

J'écris la probabilité demandée à l'aide de

\\bar{X}_n

(ou de

S_n = X_1 + \\cdots + X_n

On veut $P([\\bar{X}_n \\geq 0{,}55])$ .

Étape 3 —

Je centre-réduis :

\\bar{X}_n^* = \\dfrac{\\bar{X}_n - m}{\\sigma / \\sqrt{n}}

et je transforme l'événement en un événement sur

\\bar{X}_n^*

$\\bar{X}_n^* = \\dfrac{\\bar{X}_n - 1/2}{1/\\sqrt{12 \\times 100}} = \\sqrt{1200} (\\bar{X}_n - 1/2)$ . L'événement $\\bar{X}_n \\geq 0{,}55$ équivaut à $\\bar{X}_n^* \\geq \\sqrt{1200} \\times 0{,}05 \\approx 1{,}73$ .

Étape 4 —

Par le TCL, j'approche

\\bar{X}_n^*

par

Z \\sim \\mathcal{N}(0, 1)

et je conclus avec

\\Phi

P([a \\leq \\bar{X}_n^* \\leq b]) \\approx \\Phi(b) - \\Phi(a)

Par le TCL, $P([\\bar{X}_n^* \\geq 1{,}73]) \\approx 1 - \\Phi(1{,}73) \\approx 1 - 0{,}958 = 0{,}042$ .

$P([\\bar{X}_n \\geq 0{,}55]) \\approx 0{,}042$ .

Application guidée

Soit $(X_n)$ i.i.d. de loi exponentielle $\\mathcal{E}(1)$ . Pour $n = 100$ , approcher $P([90 \\leq S_n \\leq 110])$ où $S_n = X_1 + \\cdots + X_n$ .

Application autonome 1

On lance $n = 144$ fois un dé équilibré. Soit $S_n$ le nombre total obtenu. Approcher $P([S_n \\leq 480])$ .

Application autonome 2

On lance $n = 400$ fois une pièce équilibrée. Soit $S_n$ le nombre total de piles. Approcher $P([S_n \geq 220])$ .

Application autonome 3

Soit $(X_n)$ iid de loi $\mathcal{E}(1)$ (donc $m = 1$ , $\sigma^2 = 1$ ). Pour $n = 100$ , approcher $P([\bar{X}_n \leq 1{,}1])$ .

Crée ton compte pour accéder à la fiche et aux exercices

En centrant-réduisant barXn∗=dfracbarXn−msigma/sqrtn\\bar{X}_n^* = \\dfrac{\\bar{X}_n - m}{\\sigma / \\sqrt{n}}barXn∗​=dfracbarXn​−msigma/sqrtn et en approximant par mathcalN(0,1)\\mathcal{N}(0, 1)mathcalN(0,1)

Pour comprendre, fais des exercices !

En centrant-réduisant $\\bar{X}_n^* = \\dfrac{\\bar{X}_n - m}{\\sigma / \\sqrt{n}}$ et en approximant par $\\mathcal{N}(0, 1)$