En écrivant $P([X \\geq a]) \\leq \\dfrac{E(X)}{a}$ pour $X \\geq 0$ et $a > 0$

Majorer $P([X \\geq a])$ pour $X$ positive et $a > 0$ .

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Soit $X$ une variable aléatoire suivant la loi exponentielle de paramètre $1$ . Majorer $P([X \\geq 5])$ .

L'objectif

Majorer $P([X \\geq a])$ pour $X$ positive et $a > 0$ .

Le principe

Si $X$ est une variable aléatoire à valeurs positives admettant une espérance, alors $\\forall a > 0,\\ P([X \\geq a]) \\leq \\dfrac{E(X)}{a}$ .

La méthode

1
Je vérifie que $X \\geq 0$ et que $E(X)$ existe.
2
Je choisis le seuil $a > 0$ et j'écris l'inégalité de Markov : $P([X \\geq a]) \\leq \\dfrac{E(X)}{a}$ .
3
Je calcule (ou j'exprime) $E(X)$ puis je conclus en remplaçant dans la majoration.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Soit $X$ une variable aléatoire suivant la loi exponentielle de paramètre $1$ . Majorer $P([X \\geq 5])$ .

Étape 1 —

Je vérifie que

X \\geq 0

et que

E(X)

existe.

$X \\sim \\mathcal{E}(1)$ est positive et admet une espérance $E(X) = 1$ .

Étape 2 —

Je choisis le seuil

a > 0

et j'écris l'inégalité de Markov :

P([X \\geq a]) \\leq \\dfrac{E(X)}{a}

Pour $a = 5 > 0$ , l'inégalité de Markov donne $P([X \\geq 5]) \\leq \\dfrac{E(X)}{5} = \\dfrac{1}{5}$ .

Étape 3 —

Je calcule (ou j'exprime)

E(X)

puis je conclus en remplaçant dans la majoration.

Donc $P([X \\geq 5]) \\leq \\dfrac{1}{5} = 0{,}2$ .

$P([X \\geq 5]) \\leq \\dfrac{1}{5}$ .

Application guidée

Soit $X$ une variable suivant la loi de Poisson $\\mathcal{P}(3)$ . Majorer $P([X \\geq 10])$ .

Application autonome 1

Soit $X$ une variable aléatoire admettant un moment d'ordre $2$ . Montrer que $P([|X| \\geq a]) \\leq \\dfrac{E(X^2)}{a^2}$ pour tout $a > 0$ .

Application autonome 2

Soit $X$ une variable aléatoire positive d'espérance $E(X) = 4$ . Majorer $P([X \geq 20])$ .

Application autonome 3

Soit $X \hookrightarrow \mathcal{B}(10, 0{,}3)$ . Majorer $P([X \geq 6])$ par l'inégalité de Markov.

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