Comment appliquer l'approximation $\\mathcal{B}(n, \\lambda/n) \\to \\mathcal{P}(\\lambda)$ ? | MetMat

Comment appliquer l'approximation $\\mathcal{B}(n, \\lambda/n) \\to \\mathcal{P}(\\lambda)$ ?

En vérifiant que $n$ est grand et $\\lambda/n$ petit, puis en remplaçant la binomiale par une Poisson de paramètre $\\lambda$

Approcher numériquement $P([X = k])$ pour $X \\sim \\mathcal{B}(n, p)$ par une loi de Poisson lorsque $n$ est grand et $p$ petit.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Une usine produit des pièces dont $0{,}5\,\%$ sont défectueuses. Sur un lot de $400$ pièces, soit $X$ le nombre de pièces défectueuses. Approcher $P([X = 2])$ .

L'objectif

Approcher numériquement $P([X = k])$ pour $X \\sim \\mathcal{B}(n, p)$ par une loi de Poisson lorsque $n$ est grand et $p$ petit.

Le principe

Si $X_n \\sim \\mathcal{B}(n, \\lambda/n)$ avec $\\lambda > 0$ fixé, alors $X_n \\xrightarrow[n \\to +\\infty]{\\mathcal{L}} \\mathcal{P}(\\lambda)$ ; en pratique, pour $n$ grand et $p$ petit (typiquement $n \\geq 30$ et $p \\leq 0{,}1$ ), on approche $\\mathcal{B}(n, p)$ par $\\mathcal{P}(np)$ .

La méthode

1
J'identifie $X \\sim \\mathcal{B}(n, p)$ et je vérifie que $n$ est grand et $p$ petit (ordre de grandeur $n \\geq 30$ , $p \\leq 0{,}1$ , $np$ modéré).
2
Je pose $\\lambda = n p$ et j'approche la loi de $X$ par $\\mathcal{P}(\\lambda)$ .
3
Je calcule la probabilité demandée avec la loi de Poisson : $P([X = k]) \\approx e^{-\\lambda} \\dfrac{\\lambda^k}{k!}$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Une usine produit des pièces dont $0{,}5\,\%$ sont défectueuses. Sur un lot de $400$ pièces, soit $X$ le nombre de pièces défectueuses. Approcher $P([X = 2])$ .

Étape 1 —

J'identifie

X \\sim \\mathcal{B}(n, p)

et je vérifie que

n

est grand et

p

petit (ordre de grandeur

n \\geq 30

p \\leq 0{,}1

np

modéré).

$X \\sim \\mathcal{B}(400,\\ 0{,}005)$ avec $n = 400$ grand et $p = 0{,}005$ petit, conditions de l'approximation vérifiées.

Étape 2 —

Je pose

\\lambda = n p

et j'approche la loi de

X

par

\\mathcal{P}(\\lambda)

Je pose $\\lambda = n p = 400 \\times 0{,}005 = 2$ et j'approche par $\\mathcal{P}(2)$ .

Étape 3 —

Je calcule la probabilité demandée avec la loi de Poisson :

P([X = k]) \\approx e^{-\\lambda} \\dfrac{\\lambda^k}{k!}

$P([X = 2]) \\approx e^{-2} \\dfrac{2^2}{2!} = 2 e^{-2} \\approx 0{,}271$ .

$P([X = 2]) \\approx 2 e^{-2} \\approx 0{,}271$ .

Application guidée

Un site reçoit en moyenne $1\,\%$ de connexions frauduleuses. Sur $200$ connexions, calculer une approximation de $P([X \geq 1])$ .

Application autonome 1

Dans une population, $0{,}1\,\%$ des individus possèdent une rare allergie. Sur un échantillon de $5\,000$ personnes, soit $X$ le nombre d'allergiques. Approcher $P([X \leq 3])$ .

Application autonome 2

Une hotline reçoit $5\,000$ appels par jour ; la probabilité qu'un appel soit frauduleux est $p = 0{,}0008$ . Soit $X$ le nombre d'appels frauduleux dans la journée. Approcher $P([X \leq 2])$ .

Application autonome 3

Un fabricant produit des composants avec un taux de défaut de $0{,}2\,\%$ . Sur un lot de $2\,000$ composants, soit $X$ le nombre de composants défectueux. Approcher $P([X = 0])$ .

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En vérifiant que nnn est grand et lambda/n\\lambda/nlambda/n petit, puis en remplaçant la binomiale par une Poisson de paramètre lambda\\lambdalambda

Pour comprendre, fais des exercices !

En vérifiant que $n$ est grand et $\\lambda/n$ petit, puis en remplaçant la binomiale par une Poisson de paramètre $\\lambda$