Comment reconnaître et utiliser une loi uniforme $\mathcal{U}([\![a,b]\!])$ ? | MetMat

Comment reconnaître et utiliser une loi uniforme $\mathcal{U}([\![a,b]\!])$ ?

En reconnaissant un tirage équiprobable dans $[\![a,b]\!]$

L'objectif

Reconnaître qu'une VAR suit une loi uniforme sur $[\![a,b]\!]$ et en déduire loi, espérance et variance.

Le principe

Si $(a,b)\in\mathbb{Z}^2$ avec $a\leqslant b$ , la loi uniforme $\mathcal{U}([\![a,b]\!])$ est caractérisée par $X(\Omega)=[\![a,b]\!]$ et $P(X=k)=\dfrac{1}{b-a+1}$ pour tout $k\in[\![a,b]\!]$ ; alors $E(X)=\dfrac{a+b}{2}$ et $V(X)=\dfrac{(b-a+1)^2-1}{12}=\dfrac{(b-a)(b-a+2)}{12}$ .

La méthode

1
Je vérifie que $X$ prend ses valeurs dans un intervalle d'entiers $[\![a,b]\!]$ et que chaque valeur est équiprobable (souvent par un argument de symétrie).
2
J'identifie les bornes $a$ et $b$ , et je vérifie $P(X=k)=\frac{1}{b-a+1}$ pour tout $k\in[\![a,b]\!]$ .
3
Je conclus $X\hookrightarrow\mathcal{U}([\![a,b]\!])$ , avec $E(X)=\frac{a+b}{2}$ et $V(X)=\frac{(b-a+1)^2-1}{12}$ .

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Application guidée 1

On lance un dé équilibré à 6 faces. Soit $X$ le résultat. Donner la loi, l'espérance et la variance de $X$ .

Application guidée 2

Dans une urne numérotée de 3 à 10, on tire une boule au hasard et on note $X$ son numéro. Donner la loi, $E(X)$ et $V(X)$ .

Application autonome 1

On choisit au hasard un entier entre 1 et $n$ (avec $n\in\mathbb{N}^*$ ). Soit $X$ cet entier. Donner $E(X)$ et $V(X)$ en fonction de $n$ .

Application autonome 2

On tire au hasard une carte dans un jeu de $32$ cartes et on lit son rang parmi $1$ à $8$ (As=1, 2, ..., 10, V=6, D=7, R=8 selon convention $8$ rangs). Soit $X$ le rang obtenu. Donner la loi et $E(X)$ .

Application autonome 3

On choisit un jour de la semaine au hasard (parmi $7$ ). Soit $X$ le numéro du jour (de $1$ à $7$ ). Donner la loi de $X$ , $E(X)$ et $V(X)$ .

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En reconnaissant un tirage équiprobable dans [ ⁣[a,b] ⁣][\![a,b]\!][[a,b]]

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En reconnaissant un tirage équiprobable dans $[\![a,b]\!]$