En calculant $E(g(X))=\sum g(x)P(X=x)$

Calculer $E(g(X))$ directement à partir de la loi de $X$ , sans passer par la loi de $Y=g(X)$ .

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Soit $X$ de loi $P(X=0)=\frac{1}{2}$ , $P(X=1)=\frac{1}{3}$ , $P(X=2)=\frac{1}{6}$ . Calculer $E(X^2)$ .

L'objectif

Calculer $E(g(X))$ directement à partir de la loi de $X$ , sans passer par la loi de $Y=g(X)$ .

Le principe

Théorème de transfert (admis au BO) : pour toute fonction $g$ définie sur $X(\Omega)$ et toute VAR finie $X$ , $E(g(X))=\displaystyle\sum_{x\in X(\Omega)} g(x)\,P(X=x)$ .

La méthode

1
Je reprends la loi de $X$ : $X(\Omega)$ et les $P(X=x)$ .
2
Je calcule les $g(x)$ pour chaque $x\in X(\Omega)$ et je forme la somme $\sum_{x\in X(\Omega)} g(x)\,P(X=x)$ .
3
Je simplifie et je conclus par la valeur de $E(g(X))$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Soit $X$ de loi $P(X=0)=\frac{1}{2}$ , $P(X=1)=\frac{1}{3}$ , $P(X=2)=\frac{1}{6}$ . Calculer $E(X^2)$ .

Étape 1 —

Je reprends la loi de

X

X(\Omega)

et les

P(X=x)

$X(\Omega)=\{0,1,2\}$ avec les probabilités données.

Étape 2 —

Je calcule les

g(x)

pour chaque

x\in X(\Omega)

et je forme la somme

\sum_{x\in X(\Omega)} g(x)\,P(X=x)

$E(X^2)=0^2\cdot\frac{1}{2}+1^2\cdot\frac{1}{3}+2^2\cdot\frac{1}{6}=0+\frac{1}{3}+\frac{4}{6}$ .

Étape 3 —

Je simplifie et je conclus par la valeur de

E(g(X))

$E(X^2)=\frac{2}{6}+\frac{4}{6}=1$ .

$E(X^2)=1$ .

Application guidée

Soit $X$ le résultat d'un dé équilibré à 6 faces. Calculer $E\!\left(\frac{1}{X}\right)$ .

Application autonome 1

Soit $X\hookrightarrow\mathcal{B}(3,\frac{1}{2})$ . Calculer $E(X(X-1))$ .

Application autonome 2

Soit $X\hookrightarrow\mathcal{U}(\{1,2,3,4\})$ . Calculer $E(\ln(X))$ .

Application autonome 3

Soit $X\hookrightarrow\mathcal{B}(n,p)$ . Calculer $E\!\left((-1)^X\right)$ .

Crée ton compte pour accéder à la fiche et aux exercices

En calculant E(g(X))=∑g(x)P(X=x)E(g(X))=\sum g(x)P(X=x)E(g(X))=∑g(x)P(X=x)

Pour comprendre, fais des exercices !

En calculant $E(g(X))=\sum g(x)P(X=x)$