En calculant $P(Y=y)=\sum_{g(x)=y} P(X=x)$

L'objectif

Déterminer la loi de $Y=g(X)$ à partir de la loi de $X$ .

Le principe

Pour $y\in Y(\Omega)=g(X(\Omega))$ , on a $[Y=y]=\bigsqcup_{x\in X(\Omega),\ g(x)=y}[X=x]$ , d'où par additivité $P(Y=y)=\sum_{x\in X(\Omega),\ g(x)=y} P(X=x)$ .

La méthode

1
Je détermine l'ensemble $Y(\Omega)=\{g(x),\ x\in X(\Omega)\}$ .
2
Pour chaque $y\in Y(\Omega)$ , j'identifie tous les antécédents $x\in X(\Omega)$ tels que $g(x)=y$ et je somme les probabilités $P(X=x)$ correspondantes.
3
Je vérifie que $\sum_{y\in Y(\Omega)} P(Y=y)=1$ .

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Application guidée 1

Soit $X$ une VAR telle que $X(\Omega)=\{-2,-1,0,1,2\}$ avec $P(X=k)=\frac{1}{5}$ pour chaque $k$ . Déterminer la loi de $Y=X^2$ .

Application guidée 2

Soit $X\hookrightarrow\mathcal{B}(3,\frac{1}{2})$ . On pose $Y=2X+1$ . Déterminer la loi de $Y$ .

Application autonome 1

Soit $X$ à valeurs dans $\{-1,0,1,2\}$ avec $P(X=-1)=P(X=0)=P(X=1)=P(X=2)=\frac{1}{4}$ . Déterminer la loi de $Y=|X|$ .

Application autonome 2

Soit $X\hookrightarrow\mathcal{U}(\{-2,-1,0,1,2\})$ . Déterminer la loi de $Y=(X-1)^2$ .

Application autonome 3

Soit $X\hookrightarrow\mathcal{B}(4,1/2)$ . Déterminer la loi de $Y=\min(X,2)$ .

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En calculant P(Y=y)=∑g(x)=yP(X=x)P(Y=y)=\sum_{g(x)=y} P(X=x)P(Y=y)=∑g(x)=y​P(X=x)

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En calculant $P(Y=y)=\sum_{g(x)=y} P(X=x)$