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Comment calculer l'espérance d'une VAR finie ? | MetMat

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Comment calculer l'espérance d'une VAR finie ?

En calculant $E(X)=\sum x\,P(X=x)$

L'objectif

Calculer explicitement l'espérance $E(X)$ d'une variable aléatoire finie.

Le principe

Si $X$ est une VAR finie, son espérance est $E(X)=\displaystyle\sum_{x\in X(\Omega)} x\,P(X=x)$ ; cette somme est toujours définie puisqu'elle est finie.

La méthode

1
Je détermine (ou je reprends) la loi de $X$ : l'ensemble $X(\Omega)$ et les probabilités $P(X=x)$ .
2
Je forme la somme finie $\displaystyle\sum_{x\in X(\Omega)} x\,P(X=x)$ , en regroupant et simplifiant les termes si possible.
3
Je conclus par la valeur numérique de $E(X)$ .

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Application guidée 1

Soit $X$ le résultat d'un lancer de dé équilibré à 6 faces. Calculer $E(X)$ .

Application guidée 2

Soit $X$ de loi $P(X=-1)=\frac{1}{4}$ , $P(X=0)=\frac{1}{2}$ , $P(X=2)=\frac{1}{4}$ . Calculer $E(X)$ .

Application autonome 1

Une urne contient 3 boules blanches et 2 boules noires. On tire simultanément 2 boules et $X$ compte le nombre de boules blanches. Calculer $E(X)$ .

Application autonome 2

Soit $X$ le nombre de Piles obtenus en lançant 2 pièces équilibrées. Calculer $E(X)$ .

Application autonome 3

Soit $X$ de loi uniforme sur $\{1,2,\dots,n\}$ . Calculer $E(X)$ .

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En calculant E(X)=∑x P(X=x)E(X)=\sum x\,P(X=x)E(X)=∑xP(X=x)

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En calculant $E(X)=\sum x\,P(X=x)$