En posant $X^*=(X-E(X))/\sigma(X)$

L'objectif

Construire la variable aléatoire centrée réduite associée à $X$ .

Le principe

Si $V(X)>0$ , la variable $X^*=\dfrac{X-E(X)}{\sigma(X)}$ vérifie $E(X^*)=0$ et $V(X^*)=1$ : elle est centrée et réduite. On utilise $E(aX+b)=aE(X)+b$ et $V(aX+b)=a^2 V(X)$ .

La méthode

1
Je calcule $E(X)$ et $\sigma(X)=\sqrt{V(X)}$ , en vérifiant que $V(X)\ne 0$ .
2
Je pose $X^*=\dfrac{X-E(X)}{\sigma(X)}$ et je calcule $E(X^*)=\dfrac{E(X)-E(X)}{\sigma(X)}=0$ par linéarité.
3
Je calcule $V(X^*)=\dfrac{1}{\sigma(X)^2}V(X-E(X))=\dfrac{V(X)}{V(X)}=1$ , donc $X^*$ est bien centrée réduite.

Évalue la méthode

0/5 validés

Cherche chaque exercice au brouillon, puis coche “j'ai réussi” si tu as trouvé la bonne démarche. Utilise le bouton aide si tu as besoin d'un coup de pouce.

Application guidée 1

Soit $X$ le résultat d'un dé équilibré à 6 faces. Donner l'expression de $X^*$ .

Application guidée 2

Soit $X\hookrightarrow\mathcal{B}(n,p)$ avec $0<p<1$ . Donner l'expression de $X^*$ .

Application autonome 1

Soit $X$ de loi $P(X=-1)=\frac{1}{4}$ , $P(X=0)=\frac{1}{2}$ , $P(X=2)=\frac{1}{4}$ . Donner l'expression de $X^*$ .

Application autonome 2

Soit $X\hookrightarrow \mathcal{U}(\{1,2,\ldots,n\})$ . Donner l'expression de $X^*$ .

Application autonome 3

Soit $X$ de loi $P(X=-2)=\tfrac{1}{3}$ , $P(X=1)=\tfrac{1}{2}$ , $P(X=3)=\tfrac{1}{6}$ . Calculer $X^*$ .

Connecte-toi pour cocher tes exercices réussis et sauvegarder ta progression.

En posant X∗=(X−E(X))/σ(X)X^*=(X-E(X))/\sigma(X)X∗=(X−E(X))/σ(X)

Évalue la méthode

En posant $X^*=(X-E(X))/\sigma(X)$