En posant $X^*=(X-E(X))/\sigma(X)$

Construire la variable aléatoire centrée réduite associée à $X$ .

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Soit $X$ le résultat d'un dé équilibré à 6 faces. Donner l'expression de $X^*$ .

L'objectif

Construire la variable aléatoire centrée réduite associée à $X$ .

Le principe

Si $V(X)>0$ , la variable $X^*=\dfrac{X-E(X)}{\sigma(X)}$ vérifie $E(X^*)=0$ et $V(X^*)=1$ : elle est centrée et réduite. On utilise $E(aX+b)=aE(X)+b$ et $V(aX+b)=a^2 V(X)$ .

La méthode

1
Je calcule $E(X)$ et $\sigma(X)=\sqrt{V(X)}$ , en vérifiant que $V(X)\ne 0$ .
2
Je pose $X^*=\dfrac{X-E(X)}{\sigma(X)}$ et je calcule $E(X^*)=\dfrac{E(X)-E(X)}{\sigma(X)}=0$ par linéarité.
3
Je calcule $V(X^*)=\dfrac{1}{\sigma(X)^2}V(X-E(X))=\dfrac{V(X)}{V(X)}=1$ , donc $X^*$ est bien centrée réduite.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Soit $X$ le résultat d'un dé équilibré à 6 faces. Donner l'expression de $X^*$ .

Étape 1 —

Je calcule

E(X)

\sigma(X)=\sqrt{V(X)}

, en vérifiant que

V(X)\ne 0

$E(X)=\frac{7}{2}$ et $\sigma(X)=\frac{\sqrt{105}}{6}$ , avec $V(X)=\frac{35}{12}>0$ .

Étape 2 —

Je pose

X^*=\dfrac{X-E(X)}{\sigma(X)}

et je calcule

E(X^*)=\dfrac{E(X)-E(X)}{\sigma(X)}=0

par linéarité.

$X^*=\dfrac{X-\frac{7}{2}}{\frac{\sqrt{105}}{6}}=\dfrac{6(X-\frac{7}{2})}{\sqrt{105}}=\dfrac{6X-21}{\sqrt{105}}$ . On vérifie que $E(X^*)=\dfrac{E(X)-\frac{7}{2}}{\sigma(X)}=0$ .

Étape 3 —

Je calcule

V(X^*)=\dfrac{1}{\sigma(X)^2}V(X-E(X))=\dfrac{V(X)}{V(X)}=1

, donc

X^*

est bien centrée réduite.

$V(X^*)=\dfrac{V(X)}{\sigma(X)^2}=1$ , donc $X^*$ est bien centrée réduite.

$X^*=\dfrac{6X-21}{\sqrt{105}}$ .

Application guidée

Soit $X\hookrightarrow\mathcal{B}(n,p)$ avec $0<p<1$ . Donner l'expression de $X^*$ .

Application autonome 1

Soit $X$ de loi $P(X=-1)=\frac{1}{4}$ , $P(X=0)=\frac{1}{2}$ , $P(X=2)=\frac{1}{4}$ . Donner l'expression de $X^*$ .

Application autonome 2

Soit $X\hookrightarrow \mathcal{U}(\{1,2,\ldots,n\})$ . Donner l'expression de $X^*$ .

Application autonome 3

Soit $X$ de loi $P(X=-2)=\tfrac{1}{3}$ , $P(X=1)=\tfrac{1}{2}$ , $P(X=3)=\tfrac{1}{6}$ . Calculer $X^*$ .

Crée ton compte pour accéder à la fiche et aux exercices

En posant X∗=(X−E(X))/σ(X)X^*=(X-E(X))/\sigma(X)X∗=(X−E(X))/σ(X)

Pour comprendre, fais des exercices !

En posant $X^*=(X-E(X))/\sigma(X)$