En reconnaissant une indicatrice / deux issues de paramètre $p$

Reconnaître qu'une VAR suit une loi de Bernoulli $\mathcal{B}(p)$ et en déduire ses caractéristiques.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

On lance un dé équilibré à 6 faces et on note $X=1$ si le résultat est pair, $0$ sinon. Donner la loi, l'espérance et la variance de $X$ .

L'objectif

Reconnaître qu'une VAR suit une loi de Bernoulli $\mathcal{B}(p)$ et en déduire ses caractéristiques.

Le principe

Une VAR $X$ suit $\mathcal{B}(p)$ ssi $X(\Omega)=\{0,1\}$ avec $P(X=1)=p$ et $P(X=0)=1-p$ ; alors $E(X)=p$ et $V(X)=p(1-p)$ . L'indicatrice $1_A$ d'un événement $A$ suit $\mathcal{B}(P(A))$ .

La méthode

1
Je vérifie que $X$ ne prend que deux valeurs, que j'identifie au $0$ (échec) et au $1$ (succès) : $X=1_A$ où $A$ est l'événement 'succès'.
2
Je détermine le paramètre $p=P(X=1)=P(A)$ .
3
Je conclus $X\hookrightarrow\mathcal{B}(p)$ et j'applique $E(X)=p$ , $V(X)=p(1-p)$ .

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Exercice d'exemple

On lance un dé équilibré à 6 faces et on note $X=1$ si le résultat est pair, $0$ sinon. Donner la loi, l'espérance et la variance de $X$ .

Étape 1 —

Je vérifie que

X

ne prend que deux valeurs, que j'identifie au

0

(échec) et au

1

(succès) :

X=1_A

où

A

est l'événement 'succès'.

$X\in\{0,1\}$ : c'est l'indicatrice de l'événement $A$ = 'résultat pair'.

Étape 2 —

Je détermine le paramètre

p=P(X=1)=P(A)

$P(A)=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$ , donc $p=\frac{1}{2}$ .

Étape 3 —

Je conclus

X\hookrightarrow\mathcal{B}(p)

et j'applique

E(X)=p

V(X)=p(1-p)

$X\hookrightarrow\mathcal{B}(\frac{1}{2})$ , donc $E(X)=\frac{1}{2}$ et $V(X)=\frac{1}{4}$ .

$X\hookrightarrow\mathcal{B}(\frac{1}{2})$ , $E(X)=\frac{1}{2}$ , $V(X)=\frac{1}{4}$ .

Application guidée

Une urne contient 10 boules dont 3 rouges. On tire une boule au hasard et on pose $X=1$ si elle est rouge, $0$ sinon. Déterminer la loi de $X$ .

Application autonome 1

On tire une carte dans un jeu de 32 cartes et on note $X=1$ si c'est un as, $0$ sinon. Déterminer la loi de $X$ .

Application autonome 2

Un examen comporte une question à $5$ choix, un seul correct. Un étudiant répond au hasard. Soit $X=1$ si la réponse est correcte, $0$ sinon. Donner la loi, l'espérance et la variance de $X$ .

Application autonome 3

On interroge un électeur au hasard. Soit $X=1$ s'il a voté au dernier scrutin, $0$ sinon. Sachant que la participation a été de $45{,}7\%$ , donner la loi, $E(X)$ et $V(X)$ .

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En reconnaissant une indicatrice / deux issues de paramètre ppp

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