En regroupant $P(Y=y)=\sum_{x \in X(\Omega),\, g(x)=y} P(X=x)$

Déterminer la loi de $Y=g(X)$ à partir de la loi de $X$ et de la fonction $g$ .

L'objectif

Déterminer la loi de $Y=g(X)$ à partir de la loi de $X$ et de la fonction $g$ .

Le principe

Si $g$ est définie sur $X(\Omega)$ , alors $Y=g(X)$ est une VAR discrète avec $Y(\Omega)=g(X(\Omega))$ et pour tout $y \in Y(\Omega)$ , $P(Y=y)=\sum_{x\in X(\Omega),\ g(x)=y} P(X=x)$ (somme sur une partie finie ou dénombrable).

La méthode

1
Je détermine $Y(\Omega)=g(X(\Omega))=\{g(x) \mid x \in X(\Omega)\}$ .
2
Pour chaque $y \in Y(\Omega)$ , j'identifie l'ensemble des antécédents $g^{-1}(\{y\})\cap X(\Omega)=\{x \in X(\Omega) \mid g(x)=y\}$ .
3
Je somme : $P(Y=y)=\sum_{x\in g^{-1}(\{y\})\cap X(\Omega)} P(X=x)$ , en justifiant la convergence si la somme est infinie.
4
Je vérifie $\sum_{y\in Y(\Omega)} P(Y=y)=1$ .

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Exercice d'exemple

Soit $X$ une VAR de loi uniforme sur $\{-2, -1, 0, 1, 2\}$ . Déterminer la loi de $Y=X^2$ .

Étape 1 —

Je détermine

Y(\Omega)=g(X(\Omega))=\{g(x) \mid x \in X(\Omega)\}

$Y(\Omega)=\{0, 1, 4\}$ puisque $g(x)=x^2$ envoie $\{-2,-1,0,1,2\}$ sur $\{0,1,4\}$ .

Étape 2 —

Pour chaque

y \in Y(\Omega)

, j'identifie l'ensemble des antécédents

g^{-1}(\{y\})\cap X(\Omega)=\{x \in X(\Omega) \mid g(x)=y\}

Antécédents : $g^{-1}(0)=\{0\}$ , $g^{-1}(1)=\{-1,1\}$ , $g^{-1}(4)=\{-2,2\}$ .

Étape 3 —

Je somme :

P(Y=y)=\sum_{x\in g^{-1}(\{y\})\cap X(\Omega)} P(X=x)

, en justifiant la convergence si la somme est infinie.

$P(Y=0)=\frac{1}{5}$ , $P(Y=1)=\frac{2}{5}$ , $P(Y=4)=\frac{2}{5}$ .

Étape 4 —

Je vérifie

\sum_{y\in Y(\Omega)} P(Y=y)=1

Somme : $\frac{1}{5}+\frac{2}{5}+\frac{2}{5}=1$ .

$Y(\Omega)=\{0,1,4\}$ , $P(Y=0)=\frac{1}{5}$ , $P(Y=1)=P(Y=4)=\frac{2}{5}$ .

Application guidée

Soit $X \hookrightarrow \mathcal{G}(p)$ (loi géométrique). Déterminer la loi de $Y=\min(X, 3)$ .

Application autonome 1

Soit $X$ une VAR à valeurs dans $\mathbb{Z}$ de loi $P(X=k)=\frac{1}{2^{|k|+1}}$ pour $k\in \mathbb{Z}\setminus \{0\}$ et $P(X=0)=?$ . On pose $Y=|X|$ . Déterminer la loi de $Y$ .

Application autonome 2

Soit $X\hookrightarrow\mathcal{P}(\lambda)$ . Déterminer la loi de $Y=X+1$ .

Application autonome 3

Soit $X$ de loi uniforme sur $\{-1,0,1,2\}$ . Déterminer la loi de $Y=|X-1|$ .

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En regroupant P(Y=y)=∑x∈X(Ω), g(x)=yP(X=x)P(Y=y)=\sum_{x \in X(\Omega),\, g(x)=y} P(X=x)P(Y=y)=∑x∈X(Ω),g(x)=y​P(X=x)

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En regroupant $P(Y=y)=\sum_{x \in X(\Omega),\, g(x)=y} P(X=x)$