En reconnaissant le rang du premier succès dans un schéma de Bernoulli sans mémoire

L'objectif

Reconnaître une loi géométrique dans un exercice et utiliser ses caractéristiques pour conclure.

Le principe

Si $X$ est le rang du premier succès dans une suite d'épreuves de Bernoulli indépendantes de même paramètre $p\in ]0,1[$ , alors $X\hookrightarrow \mathcal{G}(p)$ : $X(\Omega)=\mathbb{N}^*$ , $P(X=k)=(1-p)^{k-1}p$ , $E(X)=\frac{1}{p}$ , $V(X)=\frac{1-p}{p^2}$ .

La méthode

1
Je modélise l'expérience comme une succession d'épreuves de Bernoulli indépendantes, de même paramètre $p$ (probabilité de succès).
Comment modéliser une expérience aléatoire ?Voir
2
Je vérifie que $X$ correspond exactement au rang du premier succès (et pas, par exemple, au nombre d'échecs avant succès).
3
Je conclus que $X\hookrightarrow \mathcal{G}(p)$ et j'écris $P(X=k)=(1-p)^{k-1}p$ pour $k\geq 1$ .
4
J'utilise $E(X)=\frac{1}{p}$ et $V(X)=\frac{1-p}{p^2}$ pour répondre à la question.

Évalue la méthode

0/5 validés

Cherche chaque exercice au brouillon, puis coche “j'ai réussi” si tu as trouvé la bonne démarche. Utilise le bouton aide si tu as besoin d'un coup de pouce.

Application guidée 1

Un joueur tire au basket avec probabilité $p=\frac{1}{3}$ de réussite à chaque tir, les tirs étant indépendants. Soit $X$ le numéro du tir où il marque pour la première fois. Donner la loi, l'espérance et la variance de $X$ .

Application guidée 2

On lance une pièce équilibrée indéfiniment. Soit $Y$ le nombre de lancers avant d'obtenir le premier pile (donc $Y=0$ si pile au premier lancer). Exprimer $Y$ en fonction d'une loi géométrique et calculer $E(Y)$ .

Application autonome 1

Dans un QCM à 4 choix, un candidat répond au hasard. Soit $X$ le numéro de la première question où il trouve la bonne réponse. Calculer la probabilité $P(X>5)$ et $E(X)$ .

Application autonome 2

Un poisson mord à l'hameçon avec probabilité $p=0{,}2$ à chaque lancer, indépendamment. Soit $X$ le numéro du lancer où la première prise a lieu. Donner la loi, $E(X)$ et $V(X)$ , puis calculer $P(X\leq 5)$ .

Application autonome 3

On extrait une à une, avec remise, des boules dans une urne contenant $2$ boules rouges et $8$ boules vertes, jusqu'à obtenir une rouge. Soit $X$ le nombre de tirages nécessaires. Calculer $E(X)$ et $P(X\geq 10)$ .

Connecte-toi pour cocher tes exercices réussis et sauvegarder ta progression.