En reconnaissant le rang du premier succès dans un schéma de Bernoulli sans mémoire

Reconnaître une loi géométrique dans un exercice et utiliser ses caractéristiques pour conclure.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Un joueur tire au basket avec probabilité $p=\frac{1}{3}$ de réussite à chaque tir, les tirs étant indépendants. Soit $X$ le numéro du tir où il marque pour la première fois. Donner la loi, l'espérance et la variance de $X$ .

L'objectif

Reconnaître une loi géométrique dans un exercice et utiliser ses caractéristiques pour conclure.

Le principe

Si $X$ est le rang du premier succès dans une suite d'épreuves de Bernoulli indépendantes de même paramètre $p\in ]0,1[$ , alors $X\hookrightarrow \mathcal{G}(p)$ : $X(\Omega)=\mathbb{N}^*$ , $P(X=k)=(1-p)^{k-1}p$ , $E(X)=\frac{1}{p}$ , $V(X)=\frac{1-p}{p^2}$ .

La méthode

1
Je modélise l'expérience comme une succession d'épreuves de Bernoulli indépendantes, de même paramètre $p$ (probabilité de succès).
Comment modéliser une expérience aléatoire ?Voir
2
Je vérifie que $X$ correspond exactement au rang du premier succès (et pas, par exemple, au nombre d'échecs avant succès).
3
Je conclus que $X\hookrightarrow \mathcal{G}(p)$ et j'écris $P(X=k)=(1-p)^{k-1}p$ pour $k\geq 1$ .
4
J'utilise $E(X)=\frac{1}{p}$ et $V(X)=\frac{1-p}{p^2}$ pour répondre à la question.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Étape 1 —

Je modélise l'expérience comme une succession d'épreuves de Bernoulli indépendantes, de même paramètre

p

(probabilité de succès).

Chaque tir est une épreuve de Bernoulli de paramètre $p=\frac{1}{3}$ , et les tirs sont indépendants.

Étape 2 —

Je vérifie que

X

correspond exactement au rang du premier succès (et pas, par exemple, au nombre d'échecs avant succès).

$X$ est bien le rang du premier succès (premier tir réussi).

Étape 3 —

Je conclus que

X\hookrightarrow \mathcal{G}(p)

et j'écris

P(X=k)=(1-p)^{k-1}p

pour

k\geq 1

$X\hookrightarrow \mathcal{G}\left(\frac{1}{3}\right)$ : $P(X=k)=\left(\frac{2}{3}\right)^{k-1}\frac{1}{3}$ .

Étape 4 —

J'utilise

E(X)=\frac{1}{p}

V(X)=\frac{1-p}{p^2}

pour répondre à la question.

$E(X)=3$ et $V(X)=\frac{2/3}{1/9}=6$ .

$X\hookrightarrow \mathcal{G}(1/3)$ , $E(X)=3$ , $V(X)=6$ .

Application guidée

On lance une pièce équilibrée indéfiniment. Soit $Y$ le nombre de lancers avant d'obtenir le premier pile (donc $Y=0$ si pile au premier lancer). Exprimer $Y$ en fonction d'une loi géométrique et calculer $E(Y)$ .

Application autonome 1

Dans un QCM à 4 choix, un candidat répond au hasard. Soit $X$ le numéro de la première question où il trouve la bonne réponse. Calculer la probabilité $P(X>5)$ et $E(X)$ .

Application autonome 2

Un poisson mord à l'hameçon avec probabilité $p=0{,}2$ à chaque lancer, indépendamment. Soit $X$ le numéro du lancer où la première prise a lieu. Donner la loi, $E(X)$ et $V(X)$ , puis calculer $P(X\leq 5)$ .

Application autonome 3

On extrait une à une, avec remise, des boules dans une urne contenant $2$ boules rouges et $8$ boules vertes, jusqu'à obtenir une rouge. Soit $X$ le nombre de tirages nécessaires. Calculer $E(X)$ et $P(X\geq 10)$ .

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