En calculant $F_X(x)=P(X\leq x)$ et en exploitant sa croissance, ses limites $0$ et $1$

Exprimer la fonction de répartition $F_X$ d'une VAR discrète et valider ses propriétés.

L'objectif

Exprimer la fonction de répartition $F_X$ d'une VAR discrète et valider ses propriétés.

Le principe

La fonction de répartition de $X$ est $F_X : x \mapsto P(X\leq x)$ , définie sur $\mathbb{R}$ . Pour une VAR discrète, $F_X(x)=\sum_{k\in X(\Omega),\ k\leq x} P(X=k)$ . $F_X$ est croissante, en escalier, continue à droite avec $\lim_{-\infty} F_X=0$ et $\lim_{+\infty} F_X=1$ .

La méthode

1
Je détermine $X(\Omega)$ et ses valeurs ordonnées $x_1 < x_2 < \dots$ .
2
Pour $x \in \mathbb{R}$ , j'écris $F_X(x)=\sum_{k\in X(\Omega),\ k\leq x} P(X=k)$ et je distingue les intervalles entre valeurs consécutives de $X(\Omega)$ .
3
Je calcule la somme sur chaque intervalle (souvent par une formule géométrique partielle ou par complément $1-\sum_{k>x} P(X=k)$ ).
4
Je vérifie les limites : $F_X(x) \to 0$ quand $x\to -\infty$ , $F_X(x)\to 1$ quand $x\to +\infty$ , et la croissance.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Soit $X\hookrightarrow \mathcal{G}(p)$ . Déterminer la fonction de répartition $F_X$ .

Étape 1 —

Je détermine

X(\Omega)

et ses valeurs ordonnées

x_1 < x_2 < \dots

$X(\Omega)=\mathbb{N}^*=\{1, 2, 3, \dots\}$ .

Étape 2 —

Pour

x \in \mathbb{R}

, j'écris

F_X(x)=\sum_{k\in X(\Omega),\ k\leq x} P(X=k)

et je distingue les intervalles entre valeurs consécutives de

X(\Omega)

Pour $x<1$ , $F_X(x)=0$ . Pour $x\geq 1$ , soit $n=\lfloor x \rfloor \geq 1$ , alors $F_X(x)=\sum_{k=1}^{n} (1-p)^{k-1} p$ .

Étape 3 —

Je calcule la somme sur chaque intervalle (souvent par une formule géométrique partielle ou par complément

1-\sum_{k>x} P(X=k)

$F_X(x)=p \cdot \frac{1-(1-p)^n}{1-(1-p)}=1-(1-p)^n$ avec $n=\lfloor x\rfloor$ .

Étape 4 —

Je vérifie les limites :

F_X(x) \to 0

quand

x\to -\infty

F_X(x)\to 1

quand

x\to +\infty

, et la croissance.

On vérifie : $F_X(x)=0$ pour $x<1$ , $F_X(x)\to 1$ quand $x\to +\infty$ (car $(1-p)^n \to 0$ ), et $F_X$ est croissante par paliers.

$F_X(x)=0$ pour $x<1$ et $F_X(x)=1-(1-p)^{\lfloor x\rfloor}$ pour $x\geq 1$ .

Application guidée

Soit $X$ de loi uniforme sur $\{1, 2, 3, 4\}$ . Déterminer $F_X$ .

Application autonome 1

Soit $X$ une VAR telle que $P(X=n)=\frac{1}{2^n}$ pour $n\geq 1$ . Déterminer $F_X$ .

Application autonome 2

Soit $X\hookrightarrow \mathcal{P}(\lambda)$ . Déterminer la fonction de répartition $F_X$ pour $x\in\mathbb{R}$ .

Application autonome 3

Soit $X$ à valeurs dans $\mathbb{N}^*$ avec $P(X=n)=\dfrac{1}{n(n+1)}$ . Déterminer $F_X$ .

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En calculant FX(x)=P(X≤x)F_X(x)=P(X\leq x)FX​(x)=P(X≤x) et en exploitant sa croissance, ses limites 000 et 111

Pour comprendre, fais des exercices !

En calculant $F_X(x)=P(X\leq x)$ et en exploitant sa croissance, ses limites $0$ et $1$