En montrant l'existence de $E(X^2)$ par domination ou calcul direct

L'objectif

Justifier que $X$ admet une variance en montrant que $X^2$ admet une espérance.

Le principe

$X$ admet une variance si et seulement si $X^2$ admet une espérance, i.e. la série $\sum_{x \in X(\Omega)} x^2 P(X=x)$ converge (absolument). Comme $|x|\leq 1 + x^2$ , l'existence de $E(X^2)$ entraîne celle de $E(X)$ , donc $V(X)=E(X^2)-E(X)^2$ est bien défini.

La méthode

1
Je vérifie si $X(\Omega)$ est fini (la variance existe automatiquement) ou infini (il faut justifier la convergence).
2
J'applique le théorème de transfert à $g(x)=x^2$ : j'étudie la série à termes positifs $\sum_{x\in X(\Omega)} x^2 P(X=x)$ .
Comment appliquer le théorème de transfert pour une VAR discrète ?Voir
3
Je justifie la convergence (par d'Alembert, par comparaison à une série de Riemann ou géométrique, ou par domination $x^2 \leq Y^2$ avec $Y$ admettant un moment d'ordre 2).
Comment utiliser les séries de Riemann comme référence ?Voir
4
Je conclus que $E(X^2)$ existe, donc $V(X)=E(X^2)-E(X)^2$ est bien définie.

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Application guidée 1

Soit $X \hookrightarrow \mathcal{G}(p)$ . Montrer que $X$ admet une variance.

Application guidée 2

Soit $X$ de loi $P(X=n)=\frac{c}{n^4}$ pour $n\geq 1$ . Montrer que $X$ admet une variance.

Application autonome 1

Soit $X \hookrightarrow \mathcal{P}(\lambda)$ . Montrer que $X$ admet une variance.

Application autonome 2

Soit $X$ à valeurs dans $\mathbb{N}^\ast$ avec $P(X=n)=\dfrac{6}{\pi^2 n^2}$ . $X$ admet-elle une variance ?

Application autonome 3

Soit $X\hookrightarrow\mathcal{B}(n,p)$ . Montrer que $X$ admet une variance.

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