En montrant la convergence absolue de $\sum x P(X=x)$

Soit $X \hookrightarrow \mathcal{G}(p)$ avec $p\in ]0,1[$. Montrer que $X$ admet une espérance.

Soit $X$ une VAR telle que $P(X=n)=\frac{c}{n^3}$ pour $n\geq 1$ (où $c$ est choisi pour normaliser). Montrer que $X$ admet une espérance.

Soit $X$ et $Y$ deux VAR discrètes vérifiant $0 \leq |X| \leq Y$ presque sûrement, avec $Y \hookrightarrow \mathcal{P}(\lambda)$. Montrer que $X$ admet une espérance.

Soit $X$ une VAR discrète à valeurs dans $\mathbb{N}^*$ vérifiant $P(X=n)\leq \dfrac{1}{n\cdot 2^n}$ pour tout $n\geq 1$. Montrer que $X$ admet une espérance.

Soit $X$ VAR et $Y\hookrightarrow \mathcal{G}(p)$ avec $|X|\leqslant Y$ presque sûrement. Montrer que $X$ admet une espérance.