En vérifiant que $X(\Omega)$ est fini ou dénombrable et que chaque $[X=x]$ est un événement

On lance une pièce équilibrée jusqu'à obtenir pile. Soit $X$ le rang d'apparition du premier pile (et $X=0$ si pile n'apparaît jamais). Montrer que $X$ est une VAR discrète.

Soit $(A_n)_{n\geq 1}$ une suite d'événements. On pose $X=\sum_{n=1}^{+\infty} \mathbf{1}_{A_n}$. Montrer que $X$ est une VAR discrète (en supposant la somme finie presque sûrement).

On tire avec remise dans une urne à $N$ boules numérotées $1, \dots, N$. Soit $X$ le numéro maximum observé en $n$ tirages. Montrer que $X$ est une VAR discrète.

Soit $(Y_n)_{n\geqslant 1}$ des variables aléatoires mutuellement indépendantes de loi $\mathcal{B}(p)$. On pose $X=\inf\{n\geqslant 1\mid Y_n=1\}$ (avec $X=+\infty$ si cet ensemble est vide). Montrer que $X$ est une VAR discrète.

Soit $(Y_n)$ une suite de VAR discrètes sur $(\Omega,\mathcal{A},P)$. On pose $X=\sup_{n\geqslant 1}Y_n$ (à valeurs dans $\mathbb{R}\cup\{+\infty\}$). Montrer que $X$ est une VAR (si on suppose que chaque $[Y_n\leqslant x]$ est un événement).