Comment calculer la dérivée $n$-ième d'un produit (formule de Leibniz) ? | MetMat

Comment calculer la dérivée $n$ -ième d'un produit (formule de Leibniz) ?

En appliquant $(uv)^{(n)}=\sum_{k=0}^n \binom{n}{k} u^{(k)} v^{(n-k)}$

Obtenir une expression close de $(uv)^{(n)}(x)$ pour tout $n\in\mathbb{N}$ .

L'objectif

Obtenir une expression close de $(uv)^{(n)}(x)$ pour tout $n\in\mathbb{N}$ .

Le principe

Si $u$ et $v$ sont $n$ fois dérivables sur $I$ , alors $(uv)^{(n)} = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k}\, u^{(k)}\, v^{(n-k)}$ .

La méthode

1
On vérifie que $u$ et $v$ sont $n$ fois dérivables sur l'intervalle $I$ considéré (en pratique, le plus souvent de classe $\mathcal{C}^\infty$ ).
2
On choisit judicieusement quel facteur est $u$ et quel facteur est $v$ : en général, le facteur dont les dérivées s'annulent à partir d'un certain rang (polynôme) ou se calculent simplement (exponentielle, $\sin$ , $\cos$ ) est placé de façon à simplifier la somme.
3
On calcule les dérivées successives $u^{(k)}$ et $v^{(n-k)}$ sous forme close (par récurrence ou en reconnaissant un motif).
4
On écrit la formule de Leibniz $(uv)^{(n)} = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} u^{(k)} v^{(n-k)}$ , puis on supprime les termes nuls et on simplifie la somme.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Soit $f \colon x \mapsto x^2 \mathrm{e}^x$ . Calculer $f^{(n)}(x)$ pour tout $n\in\mathbb{N}$ et tout $x\in\mathbb{R}$ .

Étape 1 —

On vérifie que

u

v

sont

n

fois dérivables sur l'intervalle

I

considéré (en pratique, le plus souvent de classe

\mathcal{C}^\infty

$u \colon x\mapsto x^2$ et $v \colon x\mapsto \mathrm{e}^x$ sont de classe $\mathcal{C}^\infty$ sur $\mathbb{R}$ , donc $n$ fois dérivables pour tout $n$ .

Étape 2 —

On choisit judicieusement quel facteur est

u

et quel facteur est

v

: en général, le facteur dont les dérivées s'annulent à partir d'un certain rang (polynôme) ou se calculent simplement (exponentielle,

\sin

\cos

) est placé de façon à simplifier la somme.

Je choisis $u(x)=x^2$ car $u^{(k)}=0$ dès que $k\geq 3$ , ce qui tronque la somme, et $v(x)=\mathrm{e}^x$ dont toutes les dérivées sont simples.

Étape 3 —

On calcule les dérivées successives

u^{(k)}

v^{(n-k)}

sous forme close (par récurrence ou en reconnaissant un motif).

$u(x)=x^2$ , $u'(x)=2x$ , $u''(x)=2$ , $u^{(k)}(x)=0$ pour $k\geq 3$ ; et pour tout $j\geq 0$ , $v^{(j)}(x)=\mathrm{e}^x$ .

Étape 4 —

On écrit la formule de Leibniz

(uv)^{(n)} = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} u^{(k)} v^{(n-k)}

, puis on supprime les termes nuls et on simplifie la somme.

Donc $f^{(n)}(x) = \binom{n}{0}x^2\mathrm{e}^x + \binom{n}{1}(2x)\mathrm{e}^x + \binom{n}{2}(2)\mathrm{e}^x = \bigl(x^2 + 2nx + n(n-1)\bigr)\mathrm{e}^x$ pour tout $n\geq 2$ .

$\forall n\geq 2,\ f^{(n)}(x) = \bigl(x^2 + 2nx + n(n-1)\bigr)\mathrm{e}^x$ .

Application guidée

Soit $g \colon x \mapsto x \ln(x)$ . Calculer $g^{(n)}(x)$ pour $n\geq 2$ et $x>0$ .

Application autonome 1

Soit $h \colon x \mapsto (1+x)^n \mathrm{e}^{-x}$ avec $n\in\mathbb{N}^*$ fixé. Calculer $h^{(n)}(0)$ .

Application autonome 2

Soit $f(x)=x\mathrm{e}^x$ . Calculer $f^{(n)}(x)$ pour tout $n\in\mathbb{N}^*$ .

Application autonome 3

Soit $g(x)=x^3\ln(x)$ . Calculer $g^{(n)}(x)$ pour $n\geqslant 4$ et $x>0$ .

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En appliquant (uv)(n)=∑k=0n(nk)u(k)v(n−k)(uv)^{(n)}=\sum_{k=0}^n \binom{n}{k} u^{(k)} v^{(n-k)}(uv)(n)=∑k=0n​(kn​)u(k)v(n−k)

Pour comprendre, fais des exercices !

En appliquant $(uv)^{(n)}=\sum_{k=0}^n \binom{n}{k} u^{(k)} v^{(n-k)}$