En effectuant les opérations élémentaires $L_j\leftrightarrow L_i$ et $L_i\leftarrow aL_i+bL_j$ pour triangulariser

L'objectif

Résoudre un système linéaire en le transformant, par opérations élémentaires sur les lignes, en un système triangulaire équivalent.

Le principe

Deux systèmes obtenus l'un de l'autre par les opérations $L_j\leftrightarrow L_i$ et $L_i\leftarrow aL_i+bL_j$ (avec $a\neq 0$ et $i\neq j$ ) ont le même ensemble de solutions.

La méthode

1
J'écris le système sous forme standard et je choisis un pivot non nul dans la première colonne, quitte à permuter deux lignes par $L_j\leftrightarrow L_i$ .
2
J'élimine la première inconnue dans les lignes suivantes par des opérations $L_i\leftarrow aL_i+bL_j$ avec $a\neq 0$ , puis j'itère le procédé sur le sous-système restant jusqu'à obtenir un système échelonné.
3
Je résous le système triangulaire obtenu par remontée en exprimant chaque inconnue à partir de celles déjà calculées, et je conclus sur l'ensemble des solutions.

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Application guidée 1

Résoudre dans $\mathbb{R}^3$ le système $\begin{cases} x+y+z=6 \\ 2x-y+z=3 \\ x+2y-z=2 \end{cases}$ .

Application guidée 2

Résoudre $\begin{cases} x+2y-z=1 \\ 2x+4y-2z=2 \\ x+y+z=3 \end{cases}$ .

Application autonome 1

Résoudre $\begin{cases} x+y-z=1 \\ 2x-y+z=2 \\ 3x+3y-3z=5 \end{cases}$ .

Application autonome 2

Résoudre $\begin{cases} 2y+z=3 \\ x+y+z=2 \\ 3x-y+2z=1 \end{cases}$ .

Application autonome 3

Résoudre dans $\mathbb{R}^3$ : $\begin{cases}x+2y+z=4\\2x+y-z=1\\x-y+2z=3\end{cases}$ .

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En effectuant les opérations élémentaires Lj↔LiL_j\leftrightarrow L_iLj​↔Li​ et Li←aLi+bLjL_i\leftarrow aL_i+bL_jLi​←aLi​+bLj​ pour triangulariser

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En effectuant les opérations élémentaires $L_j\leftrightarrow L_i$ et $L_i\leftarrow aL_i+bL_j$ pour triangulariser