En résolvant AX=Y en fonction de Y et en lisant $X=A^{-1}Y$ pour récupérer $A^{-1}$

L'objectif

Calculer l'inverse d'une matrice carrée $A$ en résolvant le système $AX=Y$ en fonction d'un second membre générique $Y$ .

Le principe

Une matrice carrée $A\in\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ est inversible si et seulement si, pour tout $Y\in\mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{R})$ , le système $AX=Y$ admet une unique solution $X$ , et cette solution s'écrit $X=A^{-1}Y$ ; les colonnes de $A^{-1}$ se lisent alors comme les coefficients de $X$ en fonction des composantes de $Y$ .

La méthode

1
Je pose $Y=\begin{pmatrix} y_1 \\ \vdots \\ y_n \end{pmatrix}$ et j'écris le système $AX=Y$ avec $X=\begin{pmatrix} x_1 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix}$ et le second membre formé des $y_i$ .
2
J'applique la méthode du pivot de Gauss pour triangulariser, puis je résous par remontée afin d'exprimer chaque $x_i$ comme combinaison linéaire des $y_j$ ; si aucun pivot n'est nul, $A$ est inversible.
Comment montrer qu'une matrice est inversible ?Voir
3
Je lis $A^{-1}$ en formant la matrice dont les coefficients sont ceux des $y_j$ dans l'expression des $x_i$ , puis je vérifie l'inverse en contrôlant que $AA^{-1}=I_n$ .

Évalue la méthode

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Application guidée 1

Calculer l'inverse de $A=\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$ .

Application guidée 2

Inverser $A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ .

Application autonome 1

Étudier l'inversibilité de $A=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}$ par résolution de $AX=Y$ .

Application autonome 2

Calculer l'inverse de $A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix}$ .

Application autonome 3

Calculer l'inverse de $A=\begin{pmatrix}1&1&1\\1&2&3\\1&3&6\end{pmatrix}$ par résolution de $AX=Y$ .

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En résolvant AX=Y en fonction de Y et en lisant X=A−1YX=A^{-1}YX=A−1Y pour récupérer A−1A^{-1}A−1

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En résolvant AX=Y en fonction de Y et en lisant $X=A^{-1}Y$ pour récupérer $A^{-1}$