En identifiant la matrice A des coefficients, le vecteur colonne X des inconnues et le second membre B

Traduire un système linéaire de $n$ équations à $p$ inconnues sous la forme matricielle compacte $AX=B$ .

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Écrire sous forme matricielle le système $\begin{cases} 2x+3y=5 \\ x-y=1 \end{cases}$ .

L'objectif

Traduire un système linéaire de $n$ équations à $p$ inconnues sous la forme matricielle compacte $AX=B$ .

Le principe

Le système $\sum_{j=1}^{p} a_{i,j}x_j=b_i$ pour $1\le i\le n$ équivaut à $AX=B$ où $A=(a_{i,j})\in\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{R})$ , $X=(x_j)\in\mathcal{M}_{p,1}(\mathbb{R})$ et $B=(b_i)\in\mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{R})$ .

La méthode

1
Je mets le système sous forme standard : inconnues à gauche dans le même ordre sur toutes les lignes, constantes à droite.
2
Je construis la matrice $A$ en plaçant dans la ligne $i$ et la colonne $j$ le coefficient de la $j$ -ème inconnue dans la $i$ -ème équation (avec $0$ si l'inconnue est absente).
3
J'écris $X$ comme vecteur colonne des inconnues et $B$ comme vecteur colonne des seconds membres, puis j'énonce l'équivalence $\text{système} \Leftrightarrow AX=B$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Écrire sous forme matricielle le système $\begin{cases} 2x+3y=5 \\ x-y=1 \end{cases}$ .

Étape 1 —

Je mets le système sous forme standard : inconnues à gauche dans le même ordre sur toutes les lignes, constantes à droite.

Le système est déjà ordonné avec $x,y$ à gauche et les constantes à droite.

Étape 2 —

Je construis la matrice

A

en plaçant dans la ligne

i

et la colonne

j

le coefficient de la

j

-ème inconnue dans la

i

-ème équation (avec

0

si l'inconnue est absente).

La matrice des coefficients est $A=\begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$ .

Étape 3 —

J'écris

X

comme vecteur colonne des inconnues et

B

comme vecteur colonne des seconds membres, puis j'énonce l'équivalence

\text{système} \Leftrightarrow AX=B

Je pose $X=\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ et $B=\begin{pmatrix} 5 \\ 1 \end{pmatrix}$ : le système équivaut à $AX=B$ .

$\begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 5 \\ 1 \end{pmatrix}$ .

Application guidée

Écrire matriciellement $\begin{cases} x+2z=4 \\ 3y-z=2 \\ x+y+z=0 \end{cases}$ .

Application autonome 1

Écrire matriciellement le système rectangulaire $\begin{cases} x+y+z+t=1 \\ x-y+2z-t=0 \end{cases}$ .

Application autonome 2

Écrire matriciellement $\begin{cases}3x-y=7\\2x+5y=1\end{cases}$ .

Application autonome 3

Écrire matriciellement $\begin{cases}x+y-z=2\\3y+z=1\\2x-z=0\end{cases}$ .

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