En analysant la forme échelonnée du système (paramètres, rang) pour distinguer unique/infinité/aucune solution

L'objectif

Déterminer, éventuellement selon un paramètre, la nature de l'ensemble des solutions d'un système linéaire.

Le principe

Un système linéaire de $n$ inconnues admet soit une unique solution, soit une infinité, soit aucune solution, selon la forme échelonnée : si chaque inconnue admet un pivot et aucune équation n'est impossible, la solution est unique ; si une équation du type $0=c$ avec $c\neq 0$ apparaît, il n'y a pas de solution ; sinon l'ensemble des solutions est paramétré par les inconnues non pivots.

La méthode

1
J'applique la méthode du pivot de Gauss pour échelonner le système, en traitant les paramètres avec précaution (on ne divise que par des quantités non nulles).
Comment résoudre un système linéaire par pivot de Gauss ?Voir
2
J'examine la forme échelonnée : je repère les éventuelles équations $0=c$ et je compte le nombre $r$ de pivots (rang) par rapport au nombre $n$ d'inconnues.
3
Je conclus : une équation $0=c$ avec $c\neq 0$ donne aucune solution ; sinon $r=n$ donne une unique solution et $r<n$ donne une infinité paramétrée par $n-r$ inconnues libres.

Évalue la méthode

0/5 validés

Cherche chaque exercice au brouillon, puis coche “j'ai réussi” si tu as trouvé la bonne démarche. Utilise le bouton aide si tu as besoin d'un coup de pouce.

Application guidée 1

Discuter selon $m\in\mathbb{R}$ le système $\begin{cases} x+y=1 \\ x+my=2 \end{cases}$ .

Application guidée 2

Discuter le système $\begin{cases} x+y+z=1 \\ 2x+2y+2z=m \\ x-y+z=0 \end{cases}$ .

Application autonome 1

Discuter le système $\begin{cases} x+y+z=0 \\ x+2y+3z=0 \\ x+3y+mz=0 \end{cases}$ (système homogène).

Application autonome 2

Discuter selon $m\in\mathbb{R}$ le système $\begin{cases}x+2y=1\\2x+my=3\end{cases}$ .

Application autonome 3

Discuter selon $m\in\mathbb{R}$ le système $\begin{cases}x+y+z=1\\x+2y+3z=m\\x+3y+5z=m^2\end{cases}$ .

Connecte-toi pour cocher tes exercices réussis et sauvegarder ta progression.