En étudiant le signe de $u_{n+1}-u_n$

Déterminer le sens de variation d'une suite $(u_n)$ à partir du signe de $u_{n+1}-u_n$ .

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Étudier le sens de variation de la suite définie par $u_n=n^2-3n$ pour $n \in \mathbb{N}$ .

L'objectif

Déterminer le sens de variation d'une suite $(u_n)$ à partir du signe de $u_{n+1}-u_n$ .

Le principe

Une suite est croissante (resp. décroissante) si et seulement si $u_{n+1}-u_n \geq 0$ (resp. $\leq 0$ ) pour tout $n \in \mathbb{N}$ .

La méthode

1
Je calcule et simplifie l'expression de $u_{n+1}-u_n$ en fonction de $n$ .
2
J'étudie le signe de cette expression pour tout $n \in \mathbb{N}$ (factorisation, étude des signes des facteurs).
3
Je conclus : si le signe est positif (resp. négatif, nul), la suite est croissante (resp. décroissante, constante).

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Étudier le sens de variation de la suite définie par $u_n=n^2-3n$ pour $n \in \mathbb{N}$ .

Étape 1 —

Je calcule et simplifie l'expression de

u_{n+1}-u_n

en fonction de

n

Je calcule $u_{n+1}-u_n = (n+1)^2-3(n+1)-n^2+3n = 2n+1-3 = 2n-2$ .

Étape 2 —

J'étudie le signe de cette expression pour tout

n \in \mathbb{N}

(factorisation, étude des signes des facteurs).

Pour $n \geq 1$ , j'ai $2n-2 \geq 0$ , et pour $n=0$ , $2n-2=-2<0$ . Le signe dépend donc de $n$ .

Étape 3 —

Je conclus : si le signe est positif (resp. négatif, nul), la suite est croissante (resp. décroissante, constante).

Je conclus que la suite est décroissante entre les rangs $0$ et $1$ puis croissante à partir du rang $1$ : elle n'est pas monotone sur $\mathbb{N}$ mais l'est sur $\mathbb{N}^*$ .

$(u_n)$ est croissante à partir du rang $1$ .

Application guidée

Étudier la monotonie de $u_n=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}$ pour $n \geq 1$ .

Application autonome 1

Étudier la monotonie de la suite $u_n=\frac{n}{n+1}$ pour $n \in \mathbb{N}$ .

Application autonome 2

Étudier la monotonie de $u_n=2^n-n^2$ pour $n\in\mathbb{N}$ .

Application autonome 3

Étudier le sens de variation de $u_n=\sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{k^2}$ pour $n\geq 1$ .

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En étudiant le signe de un+1−unu_{n+1}-u_nun+1​−un​

Pour comprendre, fais des exercices !

En étudiant le signe de $u_{n+1}-u_n$