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Comment étudier une suite vérifiant une récurrence linéaire d'ordre 2 ?

En résolvant r2=ar+br^2=ar+b et en combinant les deux racines réelles

L'objectif

Obtenir l'expression explicite d'une suite vérifiant un+2=aun+1+bunu_{n+2}=a u_{n+1}+b u_n (équation caractéristique à solutions réelles).

Le principe

Les solutions de la récurrence linéaire d'ordre 2 forment un espace vectoriel de dimension 2 ; si l'équation caractéristique r2=ar+br^2=ar+b admet deux racines réelles distinctes r1,r2r_1, r_2, toute solution s'écrit un=λr1n+μr2nu_n=\lambda r_1^n+\mu r_2^n. Si r1=r2=rr_1=r_2=r, alors un=(λ+μn)rnu_n=(\lambda+\mu n)r^n.

La méthode
  1. 1
    J'écris l'équation caractéristique r2−ar−b=0r^2-ar-b=0 et je calcule son discriminant Δ=a2+4b\Delta=a^2+4b.
    Voir
  2. 2
    Si Δ>0\Delta>0 : deux racines réelles distinctes r1,r2r_1, r_2 et un=λr1n+μr2nu_n=\lambda r_1^n+\mu r_2^n. Si Δ=0\Delta=0 : racine double rr et un=(λ+μn)rnu_n=(\lambda+\mu n)r^n.
  3. 3
    Je détermine λ,μ\lambda, \mu en utilisant les conditions initiales u0u_0 et u1u_1 (système linéaire 2x2).
  4. 4
    J'écris l'expression explicite de unu_n en fonction de nn.

Exemple corrigé

Difficulté croissante de 1 à 3

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