Comment étudier une suite vérifiant une récurrence linéaire d'ordre 2 ? | MetMat

Comment étudier une suite vérifiant une récurrence linéaire d'ordre 2 ?

En résolvant $r^2=ar+b$ et en combinant les deux racines réelles

Obtenir l'expression explicite d'une suite vérifiant $u_{n+2}=a u_{n+1}+b u_n$ (équation caractéristique à solutions réelles).

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Soit $(u_n)$ définie par $u_0=0, u_1=1$ et $u_{n+2}=u_{n+1}+6u_n$ . Déterminer $u_n$ .

L'objectif

Obtenir l'expression explicite d'une suite vérifiant $u_{n+2}=a u_{n+1}+b u_n$ (équation caractéristique à solutions réelles).

Le principe

Les solutions de la récurrence linéaire d'ordre 2 forment un espace vectoriel de dimension 2 ; si l'équation caractéristique $r^2=ar+b$ admet deux racines réelles distinctes $r_1, r_2$ , toute solution s'écrit $u_n=\lambda r_1^n+\mu r_2^n$ . Si $r_1=r_2=r$ , alors $u_n=(\lambda+\mu n)r^n$ .

La méthode

1
J'écris l'équation caractéristique $r^2-ar-b=0$ et je calcule son discriminant $\Delta=a^2+4b$ .
Comment déterminer les racines d'un polynôme de degré 2 ?Voir
2
Si $\Delta>0$ : deux racines réelles distinctes $r_1, r_2$ et $u_n=\lambda r_1^n+\mu r_2^n$ . Si $\Delta=0$ : racine double $r$ et $u_n=(\lambda+\mu n)r^n$ .
3
Je détermine $\lambda, \mu$ en utilisant les conditions initiales $u_0$ et $u_1$ (système linéaire 2x2).
4
J'écris l'expression explicite de $u_n$ en fonction de $n$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

0/5 validés

Exercice d'exemple

Soit $(u_n)$ définie par $u_0=0, u_1=1$ et $u_{n+2}=u_{n+1}+6u_n$ . Déterminer $u_n$ .

Étape 1 —

J'écris l'équation caractéristique

r^2-ar-b=0

et je calcule son discriminant

\Delta=a^2+4b

L'équation caractéristique est $r^2=r+6 \Leftrightarrow r^2-r-6=0$ , $\Delta=1+24=25>0$ .

Étape 2 —

\Delta>0

: deux racines réelles distinctes

r_1, r_2

u_n=\lambda r_1^n+\mu r_2^n

. Si

\Delta=0

: racine double

r

u_n=(\lambda+\mu n)r^n

Deux racines réelles $r_1=\frac{1+5}{2}=3$ et $r_2=\frac{1-5}{2}=-2$ , donc $u_n=\lambda \cdot 3^n+\mu \cdot (-2)^n$ .

Étape 3 —

Je détermine

\lambda, \mu

en utilisant les conditions initiales

u_0

u_1

(système linéaire 2x2).

Conditions initiales : $\lambda+\mu=0$ et $3\lambda-2\mu=1$ , d'où $\lambda=\frac{1}{5}$ et $\mu=-\frac{1}{5}$ .

Étape 4 —

J'écris l'expression explicite de

u_n

en fonction de

n

Je conclus $u_n=\frac{1}{5}\left(3^n-(-2)^n\right)$ .

$u_n=\frac{3^n-(-2)^n}{5}$ .

Application guidée

Soit $(u_n)$ définie par $u_0=1, u_1=2$ et $u_{n+2}=4u_{n+1}-4u_n$ . Déterminer $u_n$ .

Application autonome 1

Soit $(u_n)$ définie par $u_0=2, u_1=3$ et $u_{n+2}=5u_{n+1}-6u_n$ . Déterminer $u_n$ puis sa limite.

Application autonome 2

Soit $(u_n)$ définie par $u_0=1$ , $u_1=1$ et $u_{n+2}=u_{n+1}+u_n$ (Fibonacci). Déterminer $u_n$ .

Application autonome 3

Soit $(u_n)$ définie par $u_0=0$ , $u_1=1$ et $u_{n+2}=3u_{n+1}-2u_n$ . Déterminer $u_n$ .

Crée ton compte pour accéder à la fiche et aux exercices

En résolvant r2=ar+br^2=ar+br2=ar+b et en combinant les deux racines réelles

Pour comprendre, fais des exercices !

En résolvant $r^2=ar+b$ et en combinant les deux racines réelles