En conjecturant une majoration puis par récurrence

Établir qu'une suite est majorée (ou minorée, ou bornée) en démontrant l'inégalité $u_n \leq M$ par récurrence.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Soit $(u_n)$ définie par $u_0=0$ et $u_{n+1}=\sqrt{u_n+2}$ . Montrer que $(u_n)$ est majorée par $2$ .

L'objectif

Établir qu'une suite est majorée (ou minorée, ou bornée) en démontrant l'inégalité $u_n \leq M$ par récurrence.

Le principe

Si $P(n): u_n \leq M$ est vraie au rang initial et si $P(n) \Rightarrow P(n+1)$ , alors $(u_n)$ est majorée par $M$ .

La méthode

1
Je calcule les premiers termes $u_0, u_1, u_2, \ldots$ pour conjecturer une valeur candidate $M$ (ou un encadrement).
2
Je pose l'hypothèse de récurrence $P(n): u_n \leq M$ et je vérifie l'initialisation au rang $0$ .
3
Je suppose $P(n)$ vraie : je majore $u_{n+1}$ en utilisant la relation de définition et l'hypothèse de récurrence pour obtenir $u_{n+1} \leq M$ .
4
Je conclus par récurrence que $\forall n \in \mathbb{N}, u_n \leq M$ , donc $(u_n)$ est majorée par $M$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Soit $(u_n)$ définie par $u_0=0$ et $u_{n+1}=\sqrt{u_n+2}$ . Montrer que $(u_n)$ est majorée par $2$ .

Étape 1 —

Je calcule les premiers termes

u_0, u_1, u_2, \ldots

pour conjecturer une valeur candidate

M

(ou un encadrement).

Je calcule $u_0=0$ , $u_1=\sqrt{2}\approx 1{,}41$ , $u_2=\sqrt{\sqrt{2}+2}\approx 1{,}85$ : je conjecture $M=2$ .

Étape 2 —

Je pose l'hypothèse de récurrence

P(n): u_n \leq M

et je vérifie l'initialisation au rang

0

Je pose $P(n):u_n \leq 2$ . Initialisation : $u_0=0 \leq 2$ , donc $P(0)$ est vraie.

Étape 3 —

Je suppose

P(n)

vraie : je majore

u_{n+1}

en utilisant la relation de définition et l'hypothèse de récurrence pour obtenir

u_{n+1} \leq M

Je suppose $P(n)$ vraie. Alors $u_n+2 \leq 4$ donc $u_{n+1}=\sqrt{u_n+2} \leq \sqrt{4}=2$ : $P(n+1)$ est vraie.

Étape 4 —

Je conclus par récurrence que

\forall n \in \mathbb{N}, u_n \leq M

, donc

(u_n)

est majorée par

M

Par récurrence, $\forall n \in \mathbb{N}, u_n \leq 2$ : la suite est majorée par $2$ .

$(u_n)$ est majorée par $2$ .

Application guidée

Soit $(u_n)$ définie par $u_0=1$ et $u_{n+1}=\frac{1}{2}u_n+3$ . Montrer que $(u_n)$ est bornée par $1$ et $6$ .

Application autonome 1

Soit $(u_n)$ définie par $u_0=3$ et $u_{n+1}=\frac{u_n^2+2}{2u_n}$ . Montrer que $u_n \geq \sqrt{2}$ pour tout $n \in \mathbb{N}$ .

Application autonome 2

Soit $(u_n)$ définie par $u_0=2$ et $u_{n+1}=\dfrac{u_n^2+4}{2u_n+1}$ . Montrer que $u_n\geq 1$ pour tout $n\in\mathbb{N}$ .

Application autonome 3

Soit $(u_n)$ définie par $u_0=1$ et $u_{n+1}=1+\dfrac{1}{u_n}$ . Montrer que $1\leq u_n\leq 2$ pour tout $n\in\mathbb{N}$ .

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