En appliquant les règles d'opérations sur les limites et en levant les formes indéterminées

Déterminer la limite d'une suite obtenue comme combinaison algébrique de suites dont les limites sont connues.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Calculer $\lim_{n\to+\infty} u_n$ avec $u_n = \frac{3n^2+2n-1}{n^2+5}$ .

L'objectif

Déterminer la limite d'une suite obtenue comme combinaison algébrique de suites dont les limites sont connues.

Le principe

Si $u_n\to \ell$ et $v_n\to \ell'$ avec $(\ell,\ell')$ compatibles, alors $u_n+v_n\to \ell+\ell'$ , $u_n v_n\to \ell\ell'$ et $\frac{u_n}{v_n}\to \frac{\ell}{\ell'}$ (si $\ell'\neq 0$ ) ; dans les cas indéterminés, on factorise par le terme dominant ou on utilise l'expression conjuguée.

La méthode

1
Je calcule séparément les limites des blocs simples $u_n$ , $v_n$ , etc. en utilisant les limites de référence ( $\frac{1}{n}\to 0$ , $q^n\to 0$ si $|q|<1$ , etc.).
2
J'applique les règles d'opérations (somme, produit, quotient, composée) pour combiner ces limites.
3
Si une forme indéterminée apparaît, je factorise par le terme prépondérant ou je multiplie par la quantité conjuguée pour la lever.
Comment lever une forme indéterminée ?Voir
4
Je conclus en donnant la limite finale de la suite.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Calculer $\lim_{n\to+\infty} u_n$ avec $u_n = \frac{3n^2+2n-1}{n^2+5}$ .

Étape 1 —

Je calcule séparément les limites des blocs simples

u_n

v_n

, etc. en utilisant les limites de référence (

\frac{1}{n}\to 0

q^n\to 0

|q|<1

, etc.).

Les blocs $3n^2$ , $2n$ , $-1$ , $n^2$ , $5$ tendent vers $\pm\infty$ ou une constante ; le numérateur et le dénominateur tendent vers $+\infty$ .

Étape 2 —

J'applique les règles d'opérations (somme, produit, quotient, composée) pour combiner ces limites.

Le quotient conduit à la forme indéterminée $\frac{\infty}{\infty}$ .

Étape 3 —

Si une forme indéterminée apparaît, je factorise par le terme prépondérant ou je multiplie par la quantité conjuguée pour la lever.

Je factorise par $n^2$ : $u_n = \frac{n^2(3+\frac{2}{n}-\frac{1}{n^2})}{n^2(1+\frac{5}{n^2})} = \frac{3+\frac{2}{n}-\frac{1}{n^2}}{1+\frac{5}{n^2}}$ .

Étape 4 —

Je conclus en donnant la limite finale de la suite.

Par opérations, le numérateur tend vers $3$ et le dénominateur vers $1$ , donc $u_n\to 3$ .

$\lim_{n\to+\infty} u_n = 3$ .

Application guidée

Calculer $\lim_{n\to+\infty} v_n$ avec $v_n = \sqrt{n+1}-\sqrt{n}$ .

Application autonome 1

Calculer $\lim_{n\to+\infty} w_n$ avec $w_n = \frac{2^n+3^n}{3^{n+1}}$ .

Application autonome 2

Calculer $\lim_{n\to+\infty}u_n$ avec $u_n=\dfrac{n-\sqrt{n}}{n+1}$ .

Application autonome 3

Calculer $\lim_{n\to+\infty}v_n$ avec $v_n=n^2-\mathrm{e}^n$ .

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