Comment étudier la convergence via les extraites $u_{2n}$ et $u_{2n+1}$ ? | MetMat

Comment étudier la convergence via les extraites $u_{2n}$ et $u_{2n+1}$ ?

En montrant que $(u_{2n})$ et $(u_{2n+1})$ convergent vers la même limite

Traiter la convergence d'une suite alternée ou définie par une relation où les termes pairs et impairs ont un comportement distinct.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Soit $u_n = (-1)^n$ . Étudier la convergence de $(u_n)$ .

L'objectif

Traiter la convergence d'une suite alternée ou définie par une relation où les termes pairs et impairs ont un comportement distinct.

Le principe

Si $(u_{2n})$ et $(u_{2n+1})$ convergent toutes deux vers la même limite $\ell$ , alors $(u_n)$ converge vers $\ell$ ; réciproquement, si elles convergent vers des limites différentes, $(u_n)$ diverge.

La méthode

1
J'étudie séparément la sous-suite $(u_{2n})$ des termes de rang pair (monotonie, majoration, calcul de limite).
2
J'étudie séparément la sous-suite $(u_{2n+1})$ des termes de rang impair.
3
Je compare les deux limites obtenues : si elles sont égales à $\ell$ , alors $(u_n)$ converge vers $\ell$ ; sinon, $(u_n)$ diverge.
4
Je conclus sur la convergence ou la divergence de $(u_n)$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Soit $u_n = (-1)^n$ . Étudier la convergence de $(u_n)$ .

Étape 1 —

J'étudie séparément la sous-suite

(u_{2n})

des termes de rang pair (monotonie, majoration, calcul de limite).

$u_{2n}=(-1)^{2n}=1$ pour tout $n$ , donc $u_{2n}\to 1$ .

Étape 2 —

J'étudie séparément la sous-suite

(u_{2n+1})

des termes de rang impair.

$u_{2n+1}=(-1)^{2n+1}=-1$ pour tout $n$ , donc $u_{2n+1}\to -1$ .

Étape 3 —

Je compare les deux limites obtenues : si elles sont égales à

\ell

, alors

(u_n)

converge vers

\ell

; sinon,

(u_n)

diverge.

Les deux limites sont différentes ( $1\ne -1$ ).

Étape 4 —

Je conclus sur la convergence ou la divergence de

(u_n)

Donc $(u_n)$ diverge.

$(u_n)$ diverge.

Application guidée

Soit $u_n = \frac{(-1)^n}{n+1}$ . Étudier la convergence de $(u_n)$ .

Application autonome 1

Soit $(u_n)$ définie par $u_0 = 0$ et $u_{n+1} = 1-\frac{u_n}{2}$ . Montrer que $(u_n)$ converge et calculer sa limite en étudiant $(u_{2n})$ et $(u_{2n+1})$ .

Application autonome 2

Soit $u_n=(-1)^n+\dfrac{1}{n+1}$ . Étudier la convergence de $(u_n)$ .

Application autonome 3

Soit $(u_n)$ définie par $u_0=0$ et $u_{n+1}=-\dfrac{1}{2}u_n+1$ . Étudier la convergence via les sous-suites paires et impaires.

Crée ton compte pour accéder à la fiche et aux exercices

En montrant que (u2n)(u_{2n})(u2n​) et (u2n+1)(u_{2n+1})(u2n+1​) convergent vers la même limite

Pour comprendre, fais des exercices !

En montrant que $(u_{2n})$ et $(u_{2n+1})$ convergent vers la même limite