En sommant $u_{n+1}-u_n$ et en exploitant la limite éventuelle de $(u_n)$

L'objectif

Déterminer la nature et éventuellement la somme d'une série $\sum (u_{n+1}-u_n)$ en étudiant la suite $(u_n)$ .

Le principe

Somme partielle télescopique : $\sum_{k=n_0}^{N}(u_{k+1}-u_k)=u_{N+1}-u_{n_0}$ . La série $\sum (u_{n+1}-u_n)$ converge ssi $(u_n)$ admet une limite finie $\ell$ , et alors $\sum_{k=n_0}^{+\infty}(u_{k+1}-u_k)=\ell-u_{n_0}$ .

La méthode

1
On identifie la série comme $\sum (u_{n+1}-u_n)$ (éventuellement après reformulation).
2
On écrit la somme partielle $S_N=\sum_{k=n_0}^{N}(u_{k+1}-u_k)=u_{N+1}-u_{n_0}$ par télescopage.
3
On étudie la limite de $(u_n)$ : si $u_n\to \ell$ finie, la série converge et sa somme vaut $\ell-u_{n_0}$ ; sinon elle diverge.
4
On conclut sur la nature et, le cas échéant, la somme.

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Application guidée 1

Étudier $\sum_{n\geq 1} \left(\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+1}\right)$ et calculer sa somme.

Application guidée 2

Étudier $\sum_{n\geq 1} \left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)$ .

Application autonome 1

Étudier $\sum_{n\geq 1} \ln\!\left(\dfrac{n+1}{n}\right)$ .

Application autonome 2

Étudier $\sum_{n\geq 1} \dfrac{1}{n(n+1)}$ et calculer sa somme.

Application autonome 3

Étudier $\sum_{n\geq 1}\left(\arctan(n+1)-\arctan(n)\right)$ .

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En sommant un+1−unu_{n+1}-u_nun+1​−un​ et en exploitant la limite éventuelle de (un)(u_n)(un​)

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En sommant $u_{n+1}-u_n$ et en exploitant la limite éventuelle de $(u_n)$