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Comment utiliser les séries de Riemann comme référence ? | MetMat

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Comment utiliser les séries de Riemann comme référence ?

En comparant à $1/n^\alpha$ (CV ssi $\alpha>1$ )

L'objectif

Déterminer la nature d'une série en la ramenant à une série de Riemann de paramètre $\alpha$ .

Le principe

La série de Riemann $\sum 1/n^\alpha$ converge si et seulement si $\alpha>1$ . Pour $\alpha\leq 1$ elle diverge, en particulier la série harmonique ( $\alpha=1$ ) diverge.

La méthode

1
J'identifie un comportement asymptotique de $u_n$ de la forme $1/n^\alpha$ (équivalent, majoration ou minoration).
2
Je précise la valeur de $\alpha$ obtenue.
3
J'applique le critère : $\sum 1/n^\alpha$ converge ssi $\alpha>1$ .
4
Je conclus sur la nature de $\sum u_n$ via la comparaison/équivalence utilisée.

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Application guidée 1

Étudier la nature de $\sum_{n\geq 1} \dfrac{1}{n^{3/2}}$ .

Application guidée 2

Étudier la nature de $\sum_{n\geq 1} \dfrac{2n^2+3}{n^4+n}$ .

Application autonome 1

Étudier la nature de $\sum_{n\geq 2} \dfrac{1}{n\ln(n)}$ en s'aidant d'une minoration par Riemann.

Application autonome 2

Étudier la nature de $\sum_{n\geq 1} \dfrac{1}{n^{0.9}}$ .

Application autonome 3

Étudier la nature de $\sum_{n\geq 1}\dfrac{\ln n}{n^2}$ .

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En comparant à 1/nα1/n^\alpha1/nα (CV ssi α>1\alpha>1α>1)

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En comparant à $1/n^\alpha$ (CV ssi $\alpha>1$ )